En estadística, el tiempo de residencia es la cantidad de tiempo promedio que tarda un proceso aleatorio en alcanzar un cierto valor límite, generalmente un límite alejado de la media.
Definición
Suponga que y ( t ) es un proceso estocástico escalar real con valor inicial y ( t 0 ) = y 0 , media y avg y dos valores críticos { y avg - y min , y avg + y max }, donde y min > 0 y y max > 0 . Defina el primer tiempo de paso de y ( t ) dentro del intervalo (- y min , y max ) como
donde "inf" es el mínimo . Este es el tiempo más pequeño después del tiempo inicial t 0 en el que y ( t ) es igual a uno de los valores críticos que forman el límite del intervalo, suponiendo que y 0 está dentro del intervalo.
Debido a que y ( t ) procede aleatoriamente desde su valor inicial hasta el límite, τ ( y 0 ) es en sí mismo una variable aleatoria . La media de τ ( y 0 ) es el tiempo de residencia , [1] [2]
Para un proceso gaussiano y un límite lejos de la media, el tiempo de residencia es igual a la inversa de la frecuencia de excedencia del valor crítico más pequeño, [2]
donde la frecuencia de excedencia N es
( 1 )
σ y 2 es la varianza de la distribución gaussiana,
y Φ y ( f ) es la densidad espectral de potencia de la distribución gaussiana sobre una frecuencia f .
Generalización a múltiples dimensiones
Suponga que en lugar de ser escalar, y ( t ) tiene dimensión p , o y ( t ) ∈ ℝ p . Defina un dominio Ψ ⊂ ℝ p que contenga y avg y tenga un límite uniforme ∂Ψ . En este caso, defina el primer tiempo de paso de y ( t ) desde dentro del dominio Ψ como
En este caso, este mínimo es el tiempo más pequeño en el que y ( t ) está en el límite de Ψ en lugar de ser igual a uno de dos valores discretos, asumiendo que y 0 está dentro de Ψ . La media de este tiempo es el tiempo de residencia , [3] [4]
Tiempo de residencia logarítmico
El tiempo de residencia logarítmico es una variación adimensional del tiempo de residencia. Es proporcional al logaritmo natural de un tiempo de residencia normalizado. Teniendo en cuenta el exponencial en la ecuación ( 1 ), el tiempo de residencia logarítmico de un proceso gaussiano se define como [5] [6]
Esto está estrechamente relacionado con otro descriptor adimensional de este sistema, el número de desviaciones estándar entre el límite y la media, min ( y min , y max ) / σ y .
En general, el factor de normalización N 0 puede ser difícil o imposible de calcular, por lo que las cantidades adimensionales pueden ser más útiles en las aplicaciones.
Ver también
Notas
- ^ Meerkov 1987 , págs. 1734-1735.
- ↑ a b Richardson , 2014 , p. 2027.
- ^ Meerkov 1986 , p. 494.
- ^ Meerkov 1987 , p. 1734.
- ↑ Richardson , 2014 , p. 2028.
- ^ Meerkov 1986 , p. 495, un enfoque alternativo para definir el tiempo de residencia logarítmico y calcular N 0
Referencias
- Meerkov, SM; Runolfsson, T. (1986). Control de puntería . Actas de la 25ª Conferencia sobre Decisión y Control. Atenas: IEEE. págs. 494–498.
- Meerkov, SM; Runolfsson, T. (1987). Control de orientación de salida . Actas de la 26ª Conferencia sobre Decisión y Control. Los Ángeles: IEEE. págs. 1734-1739.
- Richardson, Johnhenri R .; Atkins, Ella M .; Kabamba, Pierre T .; Girard, Anouck R. (2014). "Márgenes de seguridad para el vuelo a través de ráfagas estocásticas". Revista de Orientación, Control y Dinámica . AIAA. 37 (6): 2026-2030. doi : 10.2514 / 1.G000299 . hdl : 2027,42 / 140648 .