En matemáticas , más específicamente en el análisis complejo , el residuo es un número complejo proporcional a la integral de contorno de una función meromórfica a lo largo de un camino que encierra una de sus singularidades . (De manera más general, los residuos se pueden calcular para cualquier funcióneso es holomórfico excepto en los puntos discretos { a k } k , incluso si algunos de ellos son singularidades esenciales .) Los residuos se pueden calcular con bastante facilidad y, una vez conocidos, permiten la determinación de integrales de contorno generales mediante el teorema de residuos .
Definición
El residuo de una función meromórfica en una singularidad aislada , a menudo denotado o , es el valor único tal que tiene una antiderivada analítica en un disco perforado .
Alternativamente, los residuos se pueden calcular encontrando expansiones de la serie de Laurent , y se puede definir el residuo como el coeficiente a −1 de una serie de Laurent.
La definición de residuo se puede generalizar a superficies de Riemann arbitrarias . Suponeres una forma 1 en una superficie de Riemann. Dejar ser meromórfico en algún momento , para que podamos escribir en coordenadas locales como . Entonces el residuo de a se define como el residuo de en el punto correspondiente a .
Ejemplos de
Residuo de un monomio
Calcular el residuo de un monomio
hace que la mayoría de los cálculos de residuos sean fáciles de hacer. Dado que los cálculos de integrales de trayectoria son invariantes de homotopía , dejaremos ser el circulo con radio . Luego, usando el cambio de coordenadas encontramos eso
por lo tanto, nuestra integral ahora se lee como
Aplicación de residuo monomial
Como ejemplo, considere la integral de contorno
donde C es una simple curva cerrada alrededor de 0.
Evaluemos esta integral usando un resultado de convergencia estándar sobre integración por serie. Podemos sustituir la serie de Taylor poren el integrando. La integral luego se convierte en
Traigamos el factor 1 / z 5 a la serie. La integral de contorno de la serie escribe
Dado que la serie converge uniformemente en el soporte de la ruta de integración, podemos intercambiar integración y suma. La serie de las integrales de trayectoria se colapsa a una forma mucho más simple debido al cálculo anterior. Así que ahora la integral alrededor de C de cualquier otro término que no esté en la forma cz −1 es cero, y la integral se reduce a
¡El valor 1/4! es el residuo de e z / z 5 en z = 0, y se denota
Calcular residuos
Suponga un disco perforado D = { z : 0 <| z - c | < R } en el plano complejo se da y f es una función holomorfa definido (al menos) en D . El residuo Res ( f , c ) de f en c es el coeficiente a −1 de ( z - c ) −1 en la expansión de la serie de Laurent de f alrededor de c . Existen varios métodos para calcular este valor, y la elección del método a utilizar depende de la función en cuestión y de la naturaleza de la singularidad.
Según el teorema del residuo , tenemos:
donde γ traza un círculo alrededor de c en sentido antihorario. Podemos elegir que el camino γ sea un círculo de radio ε alrededor de c , donde ε es tan pequeño como deseamos. Esto se puede utilizar para el cálculo en los casos en que la integral se puede calcular directamente, pero suele ocurrir que los residuos se utilizan para simplificar el cálculo de integrales, y no al revés.
Singularidades removibles
Si la función f se puede continuar con una función holomórfica en todo el disco, entonces Res ( f , c ) = 0. En general, lo contrario no es cierto.
Postes simples
En un polo simple c , el residuo de f viene dado por:
Puede ser que la función f pueda expresarse como un cociente de dos funciones,, donde g y h son funciones holomórficas en una vecindad de c , con h ( c ) = 0 y h ' ( c ) ≠ 0. En tal caso, la regla de L'Hôpital se puede usar para simplificar la fórmula anterior a:
Fórmula límite para polos de orden superior
De manera más general, si c es un polo de orden n , entonces el residuo de f alrededor de z = c se puede encontrar mediante la fórmula:
Esta fórmula puede ser muy útil para determinar los residuos de polos de bajo orden. Para polos de orden superior, los cálculos pueden volverse inmanejables y la expansión de la serie suele ser más fácil. Para las singularidades esenciales , no existe una fórmula tan simple y, por lo general, los residuos deben tomarse directamente de las expansiones en serie.
Residuo al infinito
En general, el residuo en el infinito se define como:
Si se cumple la siguiente condición:
entonces el residuo en el infinito se puede calcular usando la siguiente fórmula:
Si en cambio
entonces el residuo en el infinito es
Métodos en serie
Si partes o la totalidad de una función se pueden expandir en una serie de Taylor o una serie de Laurent , lo que puede ser posible si las partes o la totalidad de la función tienen una expansión de serie estándar, entonces calcular el residuo es significativamente más simple que con otros métodos.
- Como primer ejemplo, considere calcular los residuos en las singularidades de la función
que puede usarse para calcular ciertas integrales de contorno. Esta función parece tener una singularidad en z = 0, pero si uno factoriza el denominador y, por lo tanto, escribe la función como
es evidente que la singularidad en z = 0 es una singularidad removible y entonces el residuo en z = 0 es por lo tanto 0.
La única otra singularidad está en z = 1. Recuerde la expresión de la serie de Taylor para una función g ( z ) sobre z = a :
Entonces, para g ( z ) = sin z y a = 1 tenemos
y para g ( z ) = 1 / z y a = 1 tenemos
Multiplicar esas dos series e introducir 1 / ( z - 1) nos da
- El siguiente ejemplo muestra que, al calcular un residuo por expansión en serie, el teorema de inversión de Lagrange juega un papel importante . Dejar
Ver también
- El teorema del residuo relaciona una integral de contorno alrededor de algunos de los polos de una función con la suma de sus residuos.
- Fórmula integral de Cauchy
- Teorema de la integral de Cauchy
- Teorema de Mittag-Leffler
- Métodos de integración de contornos
- Teorema de morera
- Fracciones parciales en análisis complejo
Referencias
- Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo . McGraw Hill.
- Marsden, Jerrold E .; Hoffman, Michael J. (1998). Análisis complejo básico (3ª ed.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.
enlaces externos
- "Residuo de una función analítica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Residuos complejos" . MathWorld .