Álgebra de mentira restringida

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En matemáticas , un álgebra de Lie restringida es un álgebra de Lie junto con una " operación p " adicional .

Sea L un álgebra de Lie sobre un campo k de característica p> 0 . Una operación p en L es un mapa que satisface${\ Displaystyle X \ mapsto X ^ {[p]}}$

Si la característica de k es 0, entonces L es un álgebra de Lie restringida donde la operación p es el mapa de identidad.

Para cualquier álgebra asociativa A definida sobre un campo de característica p , la operación de corchetes y la operación p convierten A en un álgebra de Lie restringida .${\ Displaystyle [X, Y]: = XY-YX}$${\ Displaystyle X ^ {[p]}: = X ^ {p}}$${\ displaystyle \ mathrm {Mentira} (A)}$

Deje que G sea un grupo algebraico sobre un cuerpo K de característica p , y sea el espacio tangente Zariski en el elemento de identidad de G . Cada elemento de define unívocamente un campo vectorial invariante a la izquierda en G , y el conmutador de campos vectoriales define una estructura de álgebra de Lie al igual que en el caso del grupo de Lie . Si p> 0 , el mapa de Frobenius define una operación p en .${\ displaystyle \ mathrm {Mentira} (G)}$${\ displaystyle \ mathrm {Mentira} (G)}$${\ displaystyle \ mathrm {Mentira} (G)}$ ${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {p}}$${\ displaystyle \ mathrm {Mentira} (G)}$

El funtor tiene un adjunto izquierdo llamado álgebra envolvente universal restringida . Para construir esto, sea ​​el álgebra envolvente universal de L olvidando la operación p . Dejando que yo sea ​​el ideal bilateral generado por elementos de la forma , establecemos . Satisface una forma del teorema PBW .${\ Displaystyle A \ mapsto \ mathrm {Mentira} (A)}$ ${\ Displaystyle L \ mapsto U ^ {[p]} (L)}$${\ Displaystyle U (L)}$${\ Displaystyle x ^ {p} -x ^ {[p]}}$${\ Displaystyle U ^ {[p]} (L) = U (L) / I}$

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