En la teoría de la probabilidad , la fórmula de Rice cuenta el número promedio de veces que un proceso ergódico estacionario X ( t ) por unidad de tiempo cruza un nivel fijo u . [1] Adler y Taylor describen el resultado como "uno de los resultados más importantes en las aplicaciones de procesos estocásticos suaves". [2] La fórmula se utiliza a menudo en ingeniería. [3]
Historia
La fórmula fue publicada por Stephen O. Rice en 1944, [4] habiendo sido discutida previamente en su nota de 1936 titulada "Singing Transmission Lines". [5] [6]
Fórmula
Escriba D u para el número de veces que el proceso estocástico estacionario ergódico x ( t ) toma el valor u en una unidad de tiempo (es decir, t ∈ [0,1]). Entonces la fórmula de Rice establece que
donde p ( x , x ') es la densidad de probabilidad conjunta de x ( t ) y su derivada cuadrática media x' ( t ). [7]
Si el proceso x ( t ) es un proceso gaussiano y u = 0, entonces la fórmula se simplifica significativamente para dar [7] [8]
donde ρ '' es la segunda derivada de la autocorrelación normalizada de x ( t ) en 0.
Usos
La fórmula de Rice se puede utilizar para aproximar una probabilidad de excursión [9]
en cuanto a valores grandes de u, la probabilidad de que haya un paso a nivel es aproximadamente la probabilidad de alcanzar ese nivel.
Referencias
- ^ Rychlik, I. (2000). "Sobre algunas aplicaciones de confiabilidad de la fórmula de Rice para la intensidad de los pasos a nivel". Extremos . Editores académicos de Kluwer. 3 (4): 331–348. doi : 10.1023 / A: 1017942408501 .
- ^ Adler, Robert J .; Taylor, Jonathan E. (2007). "Campos aleatorios y geometría". Springer Monografías en Matemáticas. doi : 10.1007 / 978-0-387-48116-6 . ISBN 978-0-387-48112-8. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Grigoriu, Mircea (2002). Cálculo estocástico: aplicaciones en ciencia e ingeniería . pag. 166. ISBN 978-0-817-64242-6.
- ^ Rice, SO (1944). "Análisis matemático de ruido aleatorio" (PDF) . Bell System Tech. J . 23 : 282–332.
- ^ Rainal, AJ (1988). "Origen de la fórmula del arroz". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 34 (6): 1383-1387. doi : 10.1109 / 18.21276 .
- ^ Borovkov, K .; Por último, G. (2012). "En la fórmula de Rice para procesos suaves a trozos multivariados estacionarios". Revista de probabilidad aplicada . 49 (2): 351. arXiv : 1009.3885 . doi : 10.1239 / jap / 1339878791 .
- ^ a b Barnett, JT (2001). "Cruces por cero de procesos aleatorios con aplicación a la detección de estimaciones". En Marvasti, Farokh A. (ed.). Muestreo no uniforme: teoría y práctica . Saltador. ISBN 0306464454.
- ^ Ylvisaker, ND (1965). "El número esperado de ceros de un proceso gaussiano estacionario" . Los Anales de Estadística Matemática . 36 (3): 1043. doi : 10.1214 / aoms / 1177700077 .
- ^ Adler, Robert J .; Taylor, Jonathan E. (2007). "Probabilidades de excursión". Campos aleatorios y geometría . Springer Monografías en Matemáticas. págs. 75–76. doi : 10.1007 / 978-0-387-48116-6_4 . ISBN 978-0-387-48112-8.