Distribución de arroz

Distribución de probabilidad

En el plano 2D, elija un punto fijo a una distancia ν del origen. Generar una distribución de puntos 2D centrada alrededor de ese punto, donde la x y Y coordenadas se eligen independientemente de una distribución Gaussiana con desviación estándar σ (región azul). Si R es la distancia desde estos puntos al origen, entonces R tiene una distribución de Rice.

Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulativa
Parámetros	${\displaystyle \nu \geq 0}$, distancia entre el punto de referencia y el centro de la distribución bivariada,, dispersión ${\displaystyle \sigma \geq 0}$
Apoyo	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)}$
CDF	${\displaystyle 1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)}$ donde Q 1 es la función Q de Marcum
Significar	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$
Diferencia	${\displaystyle 2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-{\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}L_{1/2}^{2}\left({\frac {-\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
Oblicuidad	(Complicado)
Ex. curtosis	(Complicado)

En la teoría de la probabilidad , la distribución de Rice o la distribución de Rician (o, menos comúnmente, la distribución de Rice ) es la distribución de probabilidad de la magnitud de una variable aleatoria normal bivariada circularmente simétrica , posiblemente con una media distinta de cero (no central). Lleva el nombre de Stephen O. Rice .

Caracterización

La función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(x\mid \nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),}$

donde I ₀ ( z ) es la función de Bessel modificada del primer tipo con orden cero.

En el contexto del desvanecimiento de Rician , la distribución a menudo también se reescribe utilizando el parámetro de forma , definido como la relación entre las contribuciones de potencia por la ruta de línea de visión y las trayectorias múltiples restantes, y el parámetro de escala , definido como la potencia total recibida en todos los caminos. ^[1]${\displaystyle K={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle \Omega =\nu ^{2}+2\sigma ^{2}}$

La función característica de la distribución del arroz se da como: ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{X}(t\mid \nu ,\sigma )=\exp \left(-{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&\left[\Psi _{2}\left(1;1,{\frac {1}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right.\\[8pt]&\left.{}+i{\sqrt {2}}\sigma t\Psi _{2}\left({\frac {3}{2}};1,{\frac {3}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

donde es una de las funciones hipergeométricas confluentes de Horn con dos variables y convergente para todos los valores finitos de y . Está dado por: ^{[4] [5]}${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}},}$

dónde

${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$

es el factorial ascendente .

Propiedades

Momentos

Los primeros momentos crudos son:

${\displaystyle \mu _{1}^{'}=\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \mu _{2}^{'}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}\,}$

${\displaystyle \mu _{3}^{'}=3\sigma ^{3}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{3/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \mu _{4}^{'}=8\sigma ^{4}+8\sigma ^{2}\nu ^{2}+\nu ^{4}\,}$

${\displaystyle \mu _{5}^{'}=15\sigma ^{5}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{5/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \mu _{6}^{'}=48\sigma ^{6}+72\sigma ^{4}\nu ^{2}+18\sigma ^{2}\nu ^{4}+\nu ^{6}\,}$

y, en general, los momentos crudos vienen dados por

${\displaystyle \mu _{k}^{'}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).\,}$

Aquí L _q ( x ) denota un polinomio de Laguerre :

${\displaystyle L_{q}(x)=L_{q}^{(0)}(x)=M(-q,1,x)=\,_{1}F_{1}(-q;1;x)}$

donde es la función hipergeométrica confluente del primer tipo. Cuando k es par, los momentos brutos se convierten en polinomios simples en σ y ν , como en los ejemplos anteriores.${\displaystyle M(a,b,z)=_{1}F_{1}(a;b;z)}$

Para el caso q = 1/2:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1/2}(x)&=\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}};1;x\right)\\&=e^{x/2}\left[\left(1-x\right)I_{0}\left(-{\frac {x}{2}}\right)-xI_{1}\left(-{\frac {x}{2}}\right)\right].\end{aligned}}}$

El segundo momento central , la varianza , es

${\displaystyle \mu _{2}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-(\pi \sigma ^{2}/2)\,L_{1/2}^{2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).}$

Tenga en cuenta que indica el cuadrado del polinomio de Laguerre , no el polinomio de Laguerre generalizado${\displaystyle L_{1/2}^{2}(\cdot )}$${\displaystyle L_{1/2}(\cdot )}$${\displaystyle L_{1/2}^{(2)}(\cdot ).}$

Distribuciones relacionadas

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(|\nu |,\sigma \right)}$si donde y son variables aleatorias normales estadísticamente independientes y es cualquier número real.${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$${\displaystyle X\sim N\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)}$${\displaystyle Y\sim N\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)}$${\displaystyle \theta }$
• Otro caso donde proviene de los siguientes pasos:${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$

1. Genere teniendo una distribución de Poisson con parámetro (también media, para un Poisson)${\displaystyle P}$${\displaystyle \lambda ={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.}$

2. Genere con una distribución chi-cuadrado con 2 P + 2 grados de libertad.${\displaystyle X}$

3. Establecer ${\displaystyle R=\sigma {\sqrt {X}}.}$

• Si entonces tiene una distribución chi-cuadrado no central con dos grados de libertad y parámetro de no centralidad .${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$${\displaystyle R^{2}}$${\displaystyle \nu ^{2}}$
• Si entonces tiene una distribución chi no central con dos grados de libertad y parámetro de no centralidad .${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \nu }$
• Si entonces , es decir, para el caso especial de la distribución de Rice dada por , la distribución se convierte en la distribución de Rayleigh , para la cual la varianza es .${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$${\displaystyle R\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$${\displaystyle \nu =0}$${\displaystyle \mu _{2}={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
• Si entonces tiene una distribución exponencial . ^[6]${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$${\displaystyle R^{2}}$
• Si entonces tiene una distribución Riciana inversa. ^[7]${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$${\displaystyle 1/R}$
• La distribución normal plegada es el caso especial univariante de la distribución del arroz.

Casos limitantes

Para valores grandes del argumento, el polinomio de Laguerre se convierte en ^[8]

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }L_{\nu }(x)={\frac {|x|^{\nu }}{\Gamma (1+\nu )}}.}$

Se ve que cuando ν se vuelve grande o σ se vuelve pequeño, la media se vuelve ν y la varianza se vuelve σ ² .

La transición a una aproximación gaussiana procede de la siguiente manera. De la teoría de la función de Bessel tenemos

${\displaystyle I_{\alpha }(z)\rightarrow {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+\cdots \right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

así, en la gran región, una expansión asintótica de la distribución de Rician:${\displaystyle x\nu /\sigma ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,\nu ,\sigma )={}&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)\\{\text{ is }}\\&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{2\pi x\nu }}}\exp \left({\frac {2x\nu }{2\sigma ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma ^{2}}{8x\nu }}+\cdots \right)\\\rightarrow {}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {x}{\nu }}},\;\;\;{\text{ as }}{\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$

Además, cuando la densidad se concentra alrededor y debido al exponente gaussiano, también podemos escribir y finalmente obtener la aproximación normal${\textstyle \nu }$${\textstyle |x-\nu |\ll \sigma }$${\displaystyle {\sqrt {\frac {x}{\nu }}}\approx 1}$

${\displaystyle f(x,\nu ,\sigma )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\;\;\;{\frac {\nu }{\sigma }}\gg 1}$

La aproximación se vuelve utilizable para ${\displaystyle {\frac {\nu }{\sigma }}>3}$

Estimación de parámetros (técnica de inversión de Koay)

Hay tres métodos diferentes para estimar los parámetros de la distribución de Rice, (1) método de momentos , ^{[9] [10] [11] [12]} (2) método de máxima verosimilitud , ^{[9] [10] [11] [13]} y (3) método de mínimos cuadrados. ^{[ cita requerida ]} En los dos primeros métodos, el interés está en estimar los parámetros de la distribución, ν y σ, a partir de una muestra de datos. Esto se puede hacer usando el método de momentos, por ejemplo, la media muestral y la desviación estándar muestral. La media de la muestra es una estimación de μ ₁ ^' y la desviación estándar de la muestra es una estimación de μ ₂^1/2 .

El siguiente es un método eficaz, conocido como "técnica de inversión de Koay". ^[14] para resolver las ecuaciones de estimación , basadas en la media muestral y la desviación estándar muestral, simultáneamente. Esta técnica de inversión también se conoce como fórmula de punto fijo de SNR . Los trabajos anteriores ^{[9] [15]} sobre el método de los momentos suelen utilizar un método de búsqueda de raíces para resolver el problema, que no es eficiente.

En primer lugar, la relación de la media de la muestra a la desviación estándar de la muestra se define como r , es decir, . La fórmula de punto fijo de SNR se expresa como${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$

${\displaystyle g(\theta )={\sqrt {\xi {(\theta )}\left[1+r^{2}\right]-2}},}$

donde es la relación de los parámetros, es decir , y viene dada por:${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ={\frac {\nu }{\sigma }}}$${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}=2+\theta ^{2}-{\frac {\pi }{8}}\exp {(-\theta ^{2}/2)}\left[(2+\theta ^{2})I_{0}(\theta ^{2}/4)+\theta ^{2}I_{1}(\theta ^{2}/4)\right]^{2},}$

donde y son funciones de Bessel modificadas del primer tipo .${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle I_{1}}$

Tenga en cuenta que es un factor de escala de y está relacionado con :${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle \mu _{2}=\xi {\left(\theta \right)}\sigma ^{2}.\,}$

Para encontrar el punto fijo,, de , se selecciona una solución inicial,, que es mayor que el límite inferior, que es y ocurre cuando ^[14] (Observe que este es el de una distribución de Rayleigh). Esto proporciona un punto de partida para la iteración, que utiliza composición funcional, ^{[ aclaración necesaria ]} y esto continúa hasta que es menor que un pequeño valor positivo. Aquí, denota la composición de la misma función , tiempos. En la práctica, asociamos la final para algún entero como el punto fijo, , es decir, .${\displaystyle \theta ^{*}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\theta }_{0}}$${\displaystyle {\theta }_{\mathrm {lowerbound} }=0}$${\displaystyle r={\sqrt {\pi /(4-\pi )}}}$${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$${\displaystyle \left|g^{i}\left(\theta _{0}\right)-\theta _{i-1}\right|}$${\displaystyle g^{i}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \theta ^{*}}$${\displaystyle \theta ^{*}=g\left(\theta ^{*}\right)}$

Una vez que se encuentra el punto fijo, las estimaciones y se encuentran a través de la función de escala , de la siguiente manera:${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {\mu _{2}^{1/2}}{\sqrt {\xi \left(\theta ^{*}\right)}}},}$

y

${\displaystyle \nu ={\sqrt {\left(\mu _{1}^{'~2}+\left(\xi \left(\theta ^{*}\right)-2\right)\sigma ^{2}\right)}}.}$

Para acelerar la iteración aún más, se puede utilizar el método de Newton de búsqueda de raíces. ^[14] Este enfoque particular es muy eficaz.

Aplicaciones

• La norma euclidiana de un vector aleatorio bivariante circularmente simétrico normalmente distribuido .
• Desvanecimiento de Rician (para interferencia multitrayecto )
• Efecto del error de avistamiento en el tiro al blanco. ^[dieciséis]

Ver también

El modelo de Rician multivariado se utiliza en el análisis de receptores de diversidad en comunicaciones por radio. ^{[17] [18]}

• Distribución de Rayleigh
• Stephen O. Rice (1907-1986)

Notas

1. Abdi, A. y Tepedelenlioglu, C. y Kaveh, M. y Giannakis, G., "Sobre la estimación del parámetro K para la distribución de desvanecimiento del arroz ", IEEE Communications Letters , marzo de 2001, p. 92–94
2. Liu 2007 (en una de las funciones hipergeométricas confluentes de Horn con dos variables).
3. Annamalai 2000 (en una suma de series infinitas).
4. Erdelyi 1953.
5. Srivastava 1985.
6. Richards, MA, Distribución de arroz para RCS , Instituto de tecnología de Georgia (septiembre de 2006)
7. Jones, Jessica L., Joyce McLaughlin y Daniel Renzi. "La distribución de ruido en una imagen de velocidad de onda de corte calculada usando tiempos de llegada en posiciones espaciales fijas". , Problemas inversos 33.5 (2017): 055012.
8. Abramowitz y Stegun (1968) §13.5.1
9. Talukdar y col. 1991
10. Bonny y col. 1996
11. Sijbers y col. 1998
12. den Dekker y Sijbers 2014
13. Varadarajan y Haldar 2015
14. Koay y col. 2006 (conocida como fórmula de punto fijo SNR).
15. Abdi 2001
16. "Ballistipedia" . Consultado el 4 de mayo de 2014 .
17. Beaulieu, Norman C; Hemachandra, Kasun (septiembre de 2011). "Representaciones novedosas para la distribución bivariada de Rician". Transacciones IEEE sobre comunicaciones . 59 (11): 2951–2954. doi : 10.1109 / TCOMM.2011.092011.090171 .
18. Dharmawansa, Prathapasinghe; Rajatheva, Nandana; Tellambura, Chinthananda (marzo de 2009). "Representación de la nueva serie para la distribución chi-cuadrado no central trivariada" (PDF) . Transacciones IEEE sobre comunicaciones . 57 (3): 665–675. CiteSeerX 10.1.1.582.533 . doi : 10.1109 / TCOMM.2009.03.070083 .  

Referencias

• Abramowitz, M. y Stegun, IA (ed.), Manual de funciones matemáticas , Oficina Nacional de Normas, 1964; Publicaciones de Dover reimpresas, 1965. ISBN 0-486-61272-4 
• Rice, SO , Análisis matemático de ruido aleatorio. Revista técnica de Bell System 24 (1945) 46-156.
• I. Soltani Bozchalooi y Ming Liang (20 de noviembre de 2007). "Un enfoque guiado por índice de suavidad para la selección de parámetros de ondículas en la eliminación de ruido y la detección de fallas". Revista de sonido y vibración . 308 (1–2): 253–254. Código Bibliográfico : 2007JSV ... 308..246B . doi : 10.1016 / j.jsv.2007.07.038 .
• Wang, Dong; Zhou, Qiang; Tsui, Kwok-Leung (2017). "Sobre la distribución del módulo de coeficientes de ondas de Gabor y el límite superior del índice de suavidad adimensional en el caso de ruidos gaussianos aditivos: revisado". Revista de sonido y vibración . 395 : 393–400. doi : 10.1016 / j.jsv.2017.02.013 .
• Liu, X. y Hanzo, L., Análisis de rendimiento de BER exacto unificado de sistemas DS-CDMA asíncronos que utilizan modulación BPSK sobre canales de desvanecimiento , Transacciones IEEE sobre comunicaciones inalámbricas, volumen 6, número 10, octubre de 2007, págs. 3504–3509.
• Annamalai, A., Tellambura, C. y Bhargava, VK, Equal-Gain Diversity Receiver Performance in Wireless Channels , IEEE Transactions on Communications, Volumen 48, octubre de 2000, págs. 1732-1745.
• Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F. y Tricomi, FG, Higher Transcendental Functions, Volumen 1. McGraw-Hill Book Company Inc., 1953.
• Srivastava, HM y Karlsson, PW, Serie hipergeométrica gaussiana múltiple. Ellis Horwood Ltd., 1985.
• Sijbers J., den Dekker AJ, Scheunders P. y Van Dyck D., "Estimación de máxima verosimilitud de los parámetros de distribución de Rician" , IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 17, Nr. 3, págs. 357–361, (1998)
• Varadarajan D. y Haldar JP, "Un marco de mayorización-minimización para imágenes de RM de Rician y de Chi no central" , Transacciones de IEEE sobre imágenes médicas, vol. 34, no. 10, págs. 2191–2202, (2015)
• den Dekker, AJ y Sijbers, J (diciembre de 2014). "Distribuciones de datos en imágenes de resonancia magnética: una revisión". Physica Medica . 30 (7): 725–741. doi : 10.1016 / j.ejmp.2014.05.002 . PMID  25059432 .
• Koay, CG y Basser, PJ, Esquema de corrección analíticamente exacta para la extracción de señales de señales de resonancia magnética de magnitud ruidosa , Journal of Magnetic Resonance, Volumen 179, Edición = 2, p. 317–322, (2006)
• Abdi, A., Tepedelenlioglu, C., Kaveh, M. y Giannakis, G. Sobre la estimación del parámetro K para la distribución de desvanecimiento de Rice , IEEE Communications Letters, Volumen 5, Número 3, marzo de 2001, págs. 92– 94.
• Talukdar, KK y Lawing, William D. (marzo de 1991). "Estimación de los parámetros de la distribución del arroz". Revista de la Sociedad Americana de Acústica . 89 (3): 1193-1197. Código Bibliográfico : 1991ASAJ ... 89.1193T . doi : 10.1121 / 1.400532 .
• Bonny, JM, Renou, JP y Zanca, M. (noviembre de 1996). "Medición óptima de magnitud y fase a partir de datos de RM". Diario de Resonancia Magnética, Serie B . 113 (2): 136-144. Código Bibliográfico : 1996JMRB..113..136B . doi : 10.1006 / jmrb.1996.0166 . PMID  8954899 .

enlaces externos

• Código MATLAB para la distribución Rice / Rician (PDF, media y varianza, y generación de muestras aleatorias)