En lógica , la paradoja de Richard es una antinomia semántica de la teoría de conjuntos y el lenguaje natural descrita por primera vez por el matemático francés Jules Richard en 1905. La paradoja se usa normalmente para motivar la importancia de distinguir cuidadosamente entre matemáticas y metamatemáticas .
Kurt Gödel cita específicamente la antinomia de Richard como un análogo semántico a su resultado de incompletud sintáctica en la sección introductoria de " Sobre proposiciones formalmente indecidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados I ". La paradoja fue también una motivación para el desarrollo de las matemáticas predicativas .
El enunciado original de la paradoja, debido a Richard (1905), está fuertemente relacionado con el argumento diagonal de Cantor sobre la incontabilidad del conjunto de números reales .
La paradoja comienza con la observación de que ciertas expresiones del lenguaje natural definen sin ambigüedad los números reales, mientras que otras expresiones del lenguaje natural no lo hacen. Por ejemplo, "El número real cuya parte entera es 17 y cuyo n -ésimo decimal es 0 si n es par y 1 si n es impar" define el número real 17.1010101... = 1693/99, mientras que el la frase "la capital de Inglaterra" no define un número real, ni la frase "el entero positivo más pequeño no definible en menos de sesenta letras" (ver la paradoja de Berry ).
Por lo tanto, hay una lista infinita de frases en inglés (tal que cada frase tiene una longitud finita, pero la lista en sí tiene una longitud infinita) que definen los números reales sin ambigüedades. Primero organizamos esta lista de frases aumentando la longitud, luego ordenamos lexicográficamente todas las frases de igual longitud , de modo que el orden sea canónico . Esto produce una lista infinita de los números reales correspondientes: r 1 , r 2 , ... . Ahora defina un nuevo número real r como sigue. La parte entera de r es 0, el n -ésimo lugar decimal de r es 1 si el n -ésimo lugar decimal de r nno es 1, y el n -ésimo lugar decimal de r es 2 si el n -ésimo lugar decimal de r n es 1.
El párrafo anterior es una expresión en inglés que define inequívocamente un número real r . Así r debe ser uno de los números r n . Sin embargo, r se construyó de modo que no puede ser igual a ninguno de los r n (por lo tanto, r es un número indefinible ). Esta es la contradicción paradójica.