Número real definible
De manera informal, un número real definible es un número real que se puede especificar de forma única mediante su descripción. La descripción puede expresarse como construcción o como fórmula de un lenguaje formal . Por ejemplo, la raíz cuadrada positiva de 2`` se puede definir como la única solución positiva de la ecuación y se puede construir con un compás y una regla.
Las diferentes elecciones de un lenguaje formal o su interpretación dan lugar a diferentes nociones de definibilidad. Las variedades específicas de números definibles incluyen los números construibles de geometría, los números algebraicos y los números computables . Debido a que los lenguajes formales solo pueden tener un número numerable de fórmulas, cada noción de números definibles tiene, a lo sumo, muchos números reales definibles. Sin embargo, según el argumento de la diagonal de Cantor , hay innumerables números reales, por lo que casi todos los números reales son indefinibles.
Una forma de especificar un número real utiliza técnicas geométricas. Un número real es un número construible si existe un método para construir un segmento de línea de longitud utilizando un compás y una regla no graduada, comenzando con un segmento de línea fija de longitud 1.
Cada entero positivo y cada número racional positivo es construible. La raíz cuadrada positiva de 2 es construible. Sin embargo, la raíz cúbica de 2 no se puede construir; esto está relacionado con la imposibilidad de doblar el cubo .
Un número real se llama un verdadero número algebraico si existe un polinomio con coeficientes enteros solamente, por lo que es una raíz de , es decir, . Cada número algebraico real se puede definir individualmente usando la relación de orden en los reales. Por ejemplo, si un polinomio tiene 5 raíces reales, el tercero se puede definir como el único tal que y tal que hay dos números distintos menos que en el cual es cero.
Todos los números racionales son algebraicos y todos los números construibles son algebraicos. Hay números como la raíz cúbica de 2 que son algebraicos pero no construibles.
