El algoritmo de Richardson-Lucy , también conocido como deconvolución de Lucy-Richardson , es un procedimiento iterativo para recuperar una imagen subyacente que ha sido borrosa por una función de dispersión de puntos conocida . Lleva el nombre de William Richardson y Leon Lucy, quienes lo describieron de forma independiente. [1] [2]
Descripción
Cuando una imagen se produce usando un sistema óptico y se detecta usando una película fotográfica o un dispositivo de carga acoplada (CCD), por ejemplo, es inevitablemente borrosa, con una fuente puntual ideal que no aparece como un punto sino que se extiende en lo que se conoce como la función de dispersión de puntos. Las fuentes extendidas se pueden descomponer en la suma de muchas fuentes puntuales individuales, por lo que la imagen observada se puede representar en términos de una matriz de transición p que opera sobre una imagen subyacente:
dónde es la intensidad de la imagen subyacente en píxeles y es la intensidad detectada en el píxel . En general, una matriz cuyos elementos sondescribe la porción de luz del píxel fuente j que se detecta en el píxel i. En la mayoría de los buenos sistemas ópticos (o en general, sistemas lineales que se describen como invariantes de desplazamiento ), la función de transferencia p se puede expresar simplemente en términos del desplazamiento espacial entre el píxel de origen j y el píxel de observación i:
donde P (Δi) se denomina función de dispersión puntual . En ese caso, la ecuación anterior se convierte en una convolución . Esto se ha escrito para una dimensión espacial, pero, por supuesto, la mayoría de los sistemas de imágenes son bidimensionales, y la fuente, la imagen detectada y la función de dispersión de puntos tienen dos índices. Por tanto, una imagen detectada bidimensional es una convolución de la imagen subyacente con una función de dispersión de puntos bidimensional P (Δx, Δy) más ruido de detección añadido.
Para estimar dado lo observado y un P conocido (Δi x , Δj y ) empleamos el siguiente procedimiento iterativo en el que la estimación de que llamamos para el número de iteración t se actualiza de la siguiente manera:
dónde
Se ha demostrado empíricamente que si esta iteración converge, converge a la solución de máxima verosimilitud para . [3]
Escribiendo esto de manera más general para dos (o más) dimensiones en términos de convolución con una función de dispersión de puntos P:
donde la división y la multiplicación son elementos sabios, y es la función de dispersión de punto invertido.
En problemas donde la función de dispersión de puntos no se conoce a priori , se ha propuesto una modificación del algoritmo de Richardson-Lucy, con el fin de lograr una deconvolución ciega . [4]
Derivación
En el contexto de la microscopía de fluorescencia, la probabilidad de medir una serie de fotones (o recuentos de digitalización proporcionales a la luz detectada) para valores esperados para un detector con K píxeles viene dado por
es conveniente trabajar con ya que en el contexto de la estimación de máxima verosimilitud queremos encontrar la posición del máximo de la función de verosimilitud y no nos interesa su valor absoluto.
De nuevo desde es una constante, no dará ninguna información adicional sobre la posición del máximo, así que consideremos
dónde es algo que comparte la misma posición máxima que . Ahora consideremos esoviene de una verdad fundamental y una medida que asumimos que es lineal. Luego
donde está implícita una multiplicación de matrices. También podemos escribir esto en el formulario
donde podemos ver como , mezcla o difumina la verdad fundamental.
También se puede demostrar que la derivada de un elemento de , con respecto a algún otro elemento de Se puede escribir como:
( 1 )
Consejo: es fácil ver esto escribiendo una matriz. de digamos (5 x 5) y dos matrices y de 5 elementos y compruébalo. Esta última ecuación se puede interpretar como cuánto un elemento de, decir elemento influye en los otros elementos (y por supuesto el caso también se tiene en cuenta). Por ejemplo, en un caso típico, un elemento de la verdad fundamental influirá en los elementos cercanos en pero no los muy distantes (un valor de se espera en esos elementos de la matriz).
Ahora, el paso clave y arbitrario: no sabemos pero queremos estimarlo con , llamemos y las verdades del terreno estimadas mientras usamos el algoritmo RL, donde el símbolo del sombrero se usa para distinguir la verdad del terreno del estimador de la verdad del terreno
( 2 )
Dónde representa un -degradado dimensional. Si trabajamos en la derivada de obtenemos
y si ahora usamos ( 1 ) obtenemos
Pero también podemos notar que por definición de matriz de transposición. Y por lo tanto
( 3 )
Entonces si consideramos abarcando todos los elementos de a esta ecuación se puede reescribir en su forma vectorial
dónde es una matriz y , y son vectores. Propongamos ahora el siguiente paso arbitrario y clave
( 4 )
dónde es un vector de unos de tamaño (igual que , y ) y la división es por elementos. Usando ( 3 ) y ( 4 ) podemos reescribir ( 2 ) como
cuyos rendimientos
( 5 )
Donde la división se refiere a la división matricial por elementos y opera como una matriz, pero la división y el producto (implícito después ) son por elementos. También, se puede calcular porque asumimos
- La suposición inicial es conocido (y normalmente se establece como datos experimentales)
- La función de medición es conocida
Por otro lado son los datos experimentales. Por lo tanto, la ecuación ( 5 ) aplicada sucesivamente, proporciona un algoritmo para estimar nuestra verdad fundamentalascendiendo (ya que se mueve en la dirección del gradiente de probabilidad) en el paisaje de verosimilitud . No se ha demostrado en esta derivación que converja y no se muestra dependencia de la elección inicial. Tenga en cuenta que la ecuación ( 2 ) proporciona una forma de seguir la dirección que aumenta la probabilidad, pero la elección de la derivada logarítmica es arbitraria. Por otro lado, la ecuación ( 4 ) introduce una forma de ponderar el movimiento del paso anterior en la iteración. Tenga en cuenta que si este término no estuviera presente en ( 5 ), el algoritmo generaría un movimiento en la estimación incluso si. Vale la pena señalar que la única estrategia utilizada aquí es maximizar la probabilidad a toda costa, por lo que se pueden introducir artefactos en la imagen. Vale la pena señalar que ningún conocimiento previo sobre la forma de la verdad fundamental se utiliza en esta derivación.
Software
- RawTherapee (desde v.2.3)
Ver también
Referencias
- ^ Richardson, William Hadley (1972). "Método iterativo basado en bayesiano de restauración de imágenes". JOSA . 62 (1): 55–59. Bibcode : 1972JOSA ... 62 ... 55R . doi : 10.1364 / JOSA.62.000055 .
- ^ Lucy, LB (1974). "Una técnica iterativa para la rectificación de distribuciones observadas". Revista astronómica . 79 (6): 745–754. Código bibliográfico : 1974AJ ..... 79..745L . doi : 10.1086 / 111605 .
- ^ Shepp, LA; Vardi, Y. (1982), "Reconstrucción de máxima verosimilitud para tomografía por emisión", Transacciones de IEEE sobre imágenes médicas , 1 (2): 113-22, doi : 10.1109 / TMI.1982.4307558 , PMID 18238264
- ^ Fish DA; Brinicombe AM; Pike ER; Walker JG (1995), "Desconvolución ciega por medio del algoritmo Richardson-Lucy" (PDF) , Revista de la Sociedad Óptica de América A , 12 (1): 58–65, Código Bibliográfico : 1995JOSAA..12 ... 58F , doi : 10.1364 / JOSAA.12.000058 , archivado desde el original (PDF) el 2019-01-10