El acoplamiento rotacional-vibratorio ocurre cuando la frecuencia de rotación de un objeto es cercana o idéntica a una frecuencia de vibración interna natural. La animación de la derecha muestra un ejemplo sencillo. El movimiento representado en la animación es para la situación idealizada de que la fuerza ejercida por el resorte aumenta linealmente con la distancia al centro de rotación. Además, la animación muestra lo que ocurriría si no hubiera fricción .
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/e/ec/Rotational_vibrational_coupling.gif)
En el acoplamiento rotacional-vibratorio hay una oscilación de la velocidad angular . Al acercar las masas circulares al centro de rotación, la fuerza ejercida por el resorte (una fuerza centrípeta ) está funcionando , convirtiendo la energía de deformación almacenada en el resorte en energía cinética.de las masas. Como consecuencia de eso, la velocidad angular aumenta. La fuerza del resorte no puede tirar de las masas circulares hasta el centro, porque a medida que las masas circulares se acercan al centro de rotación, la fuerza ejercida por el resorte se debilita y la velocidad aumenta constantemente. En algún momento, la velocidad ha aumentado tanto que el objeto comienza a oscilar de nuevo y vuelve a entrar en una fase de acumulación de energía de deformación.
En el diseño de helicópteros se deben incorporar dispositivos de amortiguación, porque a velocidades angulares específicas, las vibraciones de las palas del rotor pueden reforzarse mediante un acoplamiento rotacional-vibratorio y acumularse catastróficamente. Sin la amortiguación, las vibraciones provocarán que las palas del rotor se suelten.
Conversiones de energía
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/d/d2/Rotational_vibrational_coupling2.gif)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/f/fc/Coriolis_effect08.gif)
![Ellipse axis.png](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/70/Ellipse_axis.png/256px-Ellipse_axis.png)
La animación de la derecha proporciona una vista más clara de la oscilación de la velocidad angular. Existe una estrecha analogía con la oscilación armónica .
Cuando una oscilación armónica está en su punto medio, entonces toda la energía del sistema es energía cinética . Cuando la oscilación armónica está en los puntos más alejados del punto medio, toda la energía del sistema es energía potencial . La energía del sistema oscila entre la energía cinética y la energía potencial.
En la animación con las dos masas circulando hay una oscilación hacia adelante y hacia atrás de energía cinética y energía potencial. Cuando el resorte está en su máxima extensión, la energía potencial es mayor, cuando la velocidad angular está en su máximo, la energía cinética es mayor.
Con un resorte real hay fricción involucrada. Con un resorte real la vibración se amortiguará y la situación final será que las masas se circulen entre sí a una distancia constante, con una tensión constante del resorte.
Derivación matemática
Esta discusión aplica las siguientes simplificaciones: el resorte mismo se considera ingrávido y el resorte se considera un resorte perfecto; la fuerza de recuperación aumenta de forma lineal a medida que se estira el resorte. Es decir, la fuerza de restauración es exactamente proporcional a la distancia al centro de rotación. Una fuerza restauradora con esta característica se llama fuerza armónica .
La siguiente ecuación paramétrica de la posición en función del tiempo describe el movimiento de las masas circulantes:
- (1)
- (2)
- Notación:
- es la mitad de la longitud del eje mayor
- es la mitad de la longitud del eje menor
- es 360 ° dividido por la duración de una revolución
El movimiento en función del tiempo también puede verse como una combinación vectorial de dos movimientos circulares uniformes. Las ecuaciones paramétricas (1) y (2) se pueden reescribir como:
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/0/0b/Circle_epicircle.gif)
Una transformación a un sistema de coordenadas que resta el movimiento circular general deja la excentricidad de la trayectoria en forma de elipse. el centro de la excentricidad se encuentra a una distancia de desde el centro principal:
De hecho, eso es lo que se ve en la segunda animación, en la que el movimiento se asigna a un sistema de coordenadas que gira a una velocidad angular constante. La velocidad angular del movimiento con respecto al sistema de coordenadas de rotación es 2ω, el doble de la velocidad angular del movimiento general. El resorte trabaja continuamente. Más precisamente, el resorte oscila entre hacer un trabajo positivo (aumentar la energía cinética del peso) y hacer un trabajo negativo (disminuir la energía cinética del peso).
Discusión usando notación vectorial
La fuerza centrípeta es una fuerza armónica.
El conjunto de todas las soluciones a la ecuación de movimiento anterior consta de trayectorias circulares y trayectorias en forma de elipse. Todas las soluciones tienen el mismo período de revolución. Ésta es una característica distintiva del movimiento bajo la influencia de una fuerza armónica; todas las trayectorias necesitan la misma cantidad de tiempo para completar una revolución.
Cuando se usa un sistema de coordenadas rotativas, el término centrífugo y el término coriolis se agregan a la ecuación de movimiento. La siguiente ecuación da la aceleración con respecto a un sistema giratorio de un objeto en movimiento inercial.
Aquí, Ω es la velocidad angular del sistema de coordenadas giratorio con respecto al sistema de coordenadas inercial. v es la velocidad del objeto en movimiento con respecto al sistema de coordenadas giratorio. Es importante señalar que el término centrífugo está determinado por la velocidad angular del sistema de coordenadas giratorio; el término centrífugo no se relaciona con el movimiento del objeto.
En total, esto da los siguientes tres términos en la ecuación de movimiento para movimiento con respecto a un sistema de coordenadas que gira con velocidad angular Ω .
Tanto la fuerza centrípeta como el término centrífugo en la ecuación de movimiento son proporcionales a r . La velocidad angular del sistema de coordenadas de rotación se ajusta para tener el mismo período de revolución que el objeto que sigue una trayectoria en forma de elipse. Por lo tanto, el vector de la fuerza centrípeta y el vector del término centrífugo están a cada distancia del centro iguales en magnitud y opuestos en dirección, por lo que esos dos términos caen uno contra el otro.
Sólo en circunstancias muy especiales, el vector de la fuerza centrípeta y el término centrífugo caen uno contra el otro a cada distancia del centro de rotación. Este es el caso si y solo si la fuerza centrípeta es una fuerza armónica.
En este caso, solo el término coriolis permanece en la ecuación de movimiento.
Dado que el vector del término de coriolis siempre apunta perpendicular a la velocidad con respecto al sistema de coordenadas de rotación, se deduce que en el caso de una fuerza restauradora que es una fuerza armónica, la excentricidad en la trayectoria se mostrará como un pequeño movimiento circular. con respecto al sistema de coordenadas giratorio. El factor 2 del término de Coriolis corresponde a un período de revolución que es la mitad del período del movimiento general.
Como era de esperar, el análisis que utiliza la notación vectorial da como resultado una confirmación directa del análisis anterior:
el resorte está trabajando continuamente. Más precisamente, el resorte oscila entre realizar un trabajo positivo (aumentar la energía cinética del peso) y realizar un trabajo negativo (disminuir la energía cinética del peso).
Conservación del momento angular
En la sección 'Conversiones de energía en el acoplamiento rotacional-vibratorio' se sigue la dinámica mediante el seguimiento de las conversiones de energía. A menudo se señala en los libros de texto que el aumento de la velocidad angular en la contracción está de acuerdo con el principio de conservación del momento angular . Dado que no hay par que actúe sobre los pesos circulares, se conserva el momento angular. Sin embargo, esto ignora el mecanismo causal, que es la fuerza del resorte extendido, y el trabajo realizado durante su contracción y extensión. Del mismo modo, cuando se dispara un cañón, el proyectil saldrá disparado del cañón hacia el objetivo y el cañón retrocederá, de acuerdo con el principio de conservación del impulso . Esto no significa que el proyectil salga del cañón a gran velocidad porque el cañón retrocede. Si bien debe producirse el retroceso del cañón, como se describe en la tercera ley de Newton , no es un agente causal.
El mecanismo causal está en las conversiones de energía: la explosión de la pólvora convierte la energía química potencial en la energía potencial de un gas altamente comprimido. A medida que el gas se expande, su alta presión ejerce una fuerza tanto en el proyectil como en el interior del cañón. Es a través de la acción de esa fuerza que la energía potencial se convierte en energía cinética tanto del proyectil como del cañón.
En el caso del acoplamiento rotacional-vibratorio, el agente causal es la fuerza ejercida por el resorte. El resorte oscila entre hacer un trabajo y hacer un trabajo negativo. (El trabajo se considera negativo cuando la dirección de la fuerza es opuesta a la dirección del movimiento).