Grupo del cubo de Rubik

El grupo del Cubo de Rubik es un grupo que representa la estructura del rompecabezas mecánico del Cubo de Rubik . Cada elemento del conjunto corresponde a un movimiento de cubo, que es el efecto de cualquier secuencia de rotaciones de las caras del cubo. Con esta representación, no solo se puede representar cualquier movimiento del cubo, sino también cualquier posición del cubo, al detallar los movimientos del cubo necesarios para rotar el cubo resuelto a esa posición. De hecho, con la posición resuelta como punto de partida, existe una correspondencia biunívoca entre cada una de las posiciones legales del Cubo de Rubik y los elementos de . ^{[1] [2]} La operación de grupo${\ Displaystyle (G, \ cdot)}$ ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ cdot}$es la composición de los movimientos del cubo, correspondiente al resultado de realizar un movimiento de cubo tras otro.

El grupo del cubo de Rubik se construye etiquetando cada una de las 48 facetas no centrales con los números enteros del 1 al 48. Cada configuración del cubo se puede representar como una permutación de las etiquetas 1 a 48, dependiendo de la posición de cada faceta. Usando esta representación, el cubo resuelto es la permutación de identidad que deja el cubo sin cambios, mientras que los doce movimientos del cubo que giran una capa del cubo 90 grados están representados por sus respectivas permutaciones. El grupo del cubo de Rubik es el subgrupo del grupo simétrico generado por las seis permutaciones correspondientes a los seis movimientos del cubo en el sentido de las agujas del reloj. Con esta construcción, cualquier configuración del cubo accesible a través de una secuencia de movimientos del cubo está dentro del grupo. Su funcionamiento${\ Displaystyle S_ {48}}$ ${\ Displaystyle \ cdot}$se refiere a la composición de dos permutaciones; dentro del cubo, esto se refiere a combinar dos secuencias de movimientos del cubo juntos, haciendo uno tras otro. El grupo del Cubo de Rubik no es abeliano ya que la composición de los movimientos del cubo no es conmutativa ; Hacer dos secuencias de movimientos de cubos en un orden diferente puede resultar en una configuración diferente.

Un cubo de Rubik consta de caras , cada una con cuadrados de colores llamados facetas, para un total de facetas. Un cubo resuelto tiene todas las facetas de cada cara del mismo color.${\ Displaystyle 3 \ times 3 \ times 3}$${\ Displaystyle 6}$ ${\ Displaystyle 9}$${\ Displaystyle 54}$

Un movimiento de cubo rota una de las caras: o (métrica de media vuelta). ^[3] Una faceta central gira alrededor de su eje, pero por lo demás permanece en la misma posición. ^[1]${\ Displaystyle 6}$${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle -90 ^ {\ circ}}$

El movimiento vacío es . La concatenación es la misma que , y es la misma que .${\ Displaystyle E}$${\ displaystyle LLLL}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle RRR}$${\ Displaystyle R ^ {\ prime}}$

Las manipulaciones del cubo de Rubik forman el grupo del cubo de Rubik.