SIC-POVM

En la representación de la esfera de Bloch de un qubit , los estados de un SIC-POVM forman un tetraedro regular . Zauner conjeturó que existen estructuras análogas en espacios complejos de Hilbert de todas las dimensiones finitas.

Una medida simétrica, informativamente completa y positiva valorada por el operador (SIC- POVM ) es un caso especial de una medida generalizada en un espacio de Hilbert , utilizada en el campo de la mecánica cuántica . Una medida de la forma prescrita satisface ciertas cualidades definitorias que la convierten en un candidato interesante para una "medida cuántica estándar", utilizada en el estudio de la mecánica cuántica fundamental, más notablemente en QBism . Además, se ha demostrado que existen aplicaciones en la tomografía de estado cuántico ^[1] y la criptografía cuántica , ^[2] y se ha descubierto una posible conexión conDuodécimo problema de Hilbert . ^[3]

Definición

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Existen SIC-POVM en todas las dimensiones?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Debido al uso de SIC-POVM principalmente en mecánica cuántica, la notación de Dirac se utilizará a lo largo de este artículo para representar elementos en un espacio de Hilbert .

Un POVM sobre un espacio de Hilbert adimensional es un conjunto de operadores semidefinitos positivos en el espacio de Hilbert que suman la identidad :${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F=\left\{F_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,m\}\right\}}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}F_{i}=I.}$$

Si un POVM consta de al menos operadores que abarcan , se dice que es un POVM informativamente completo (IC-POVM). Los IC-POVM que constan exactamente de elementos se denominan mínimos. Un conjunto de proyectores de rango -1 que tienen productos internos de Hilbert-Schmidt iguales por pares ,${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle d^{2}}$${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \Pi =\left\{\Pi _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,d^{2}\}\land \Pi _{i}^{2}=\Pi _{i}\right\}}$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}},}$$

define un IC-POVM mínimo llamado SIC-POVM.${\displaystyle F=\left\{F_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,d^{2}\}\land F_{i}={\frac {1}{d}}\Pi _{i}\land \Pi _{i}\in \Pi \right\}}$

Propiedades

Simetría

La condición de que los proyectores definidos anteriormente tengan productos internos por pares iguales en realidad fija el valor de esta constante. Recuerda eso y listo . Entonces${\displaystyle \Pi _{i}\in \Pi }$${\displaystyle {\frac {1}{d}}\sum _{i}\Pi _{i}=I}$${\displaystyle \mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})=c}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&=\mathrm {Tr} (I^{2})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\sum _{i,j}\mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\left(d^{2}+cd^{2}(d^{2}-1)\right)\end{aligned}}}$$

implica eso . Por lo tanto,${\displaystyle c={\frac {1}{d+1}}}$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}}.}$$

Esta propiedad es lo que hace que los SIC-POVM sean simétricos ; Con respecto al producto interno de Hilbert-Schmidt , cualquier par de elementos es equivalente a cualquier otro par.

Superperador

Al usar los elementos SIC-POVM, se puede construir un superoperador interesante, como el mapa . Este operador es más útil al considerar la relación de los SIC-POVM con los diseños en t esféricos . Considere el mapa${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {G}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})&\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\\A&\mapsto \displaystyle \sum _{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|A|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}}$

Este operador actúa sobre un elemento SIC-POVM de forma muy similar a la identidad, en que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {G}}(\Pi _{\beta })&=\displaystyle \sum _{\alpha }\Pi _{\alpha }\left|\langle \psi _{\alpha }|\psi _{\beta }\rangle \right|^{2}\\&=\displaystyle \Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {d}{d+1}}\sum _{\alpha }{\frac {1}{d}}\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\left(\Pi _{\beta }+I\right)\end{aligned}}}$

Pero dado que los elementos de un SIC-POVM pueden determinar de manera completa y única cualquier estado cuántico, este operador lineal se puede aplicar a la descomposición de cualquier estado, lo que da como resultado la capacidad de escribir lo siguiente:

${\displaystyle G={\frac {d}{d+1}}\left({\mathcal {I}}+I\right)}$ dónde ${\displaystyle I(A)=A{\text{ and }}{\mathcal {I}}(A)=\mathrm {Tr} (A)I}$

A partir de aquí, se puede calcular que el inverso de la izquierda ^[4] es , y así con el conocimiento de que ${\displaystyle G^{-1}={\frac {1}{d}}\left[\left(d+1\right)I-{\mathcal {I}}\right]}$

${\displaystyle I=G^{-1}G={\frac {1}{d}}\sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }\odot \Pi _{\alpha }-I\odot \Pi _{\alpha }\right]}$,

se puede crear una expresión para un estado en términos de una distribución de cuasi-probabilidad , como sigue:${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho =I|\rho )&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {(\Pi _{\alpha }|\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]\quad {\text{ where }}p_{\alpha }=\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )/d\\&=\displaystyle -I+(d+1)\sum _{\alpha }p_{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}\right]|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}}$

donde es la notación de Dirac para el operador de densidad visto en el espacio de Hilbert . Esto muestra que la distribución de cuasi-probabilidad apropiada (denominada como tal porque puede producir resultados negativos) la representación del estado viene dada por${\displaystyle |\rho )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle (d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}}$

Encontrar conjuntos SIC

El ejemplo más simple

Para las ecuaciones que definen el SIC-POVM se pueden resolver a mano, obteniendo los vectores${\displaystyle d=2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{1}\rangle &=|0\rangle \\|\psi _{2}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|1\rangle \\|\psi _{3}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {2\pi }{3}}}|1\rangle \\|\psi _{4}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {4\pi }{3}}}|1\rangle ,\end{aligned}}}$$

que forman los vértices de un tetraedro regular en la esfera de Bloch . Los proyectores que definen el SIC-POVM están dados por .${\displaystyle \Pi _{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

Para dimensiones más altas esto no es factible, lo que requiere el uso de un enfoque más sofisticado.

Covarianza de grupo

Covarianza general del grupo

Se dice que un SIC-POVM es covariante de grupo si existe un grupo con una representación unitaria -dimensional tal que${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d^{2}}$

• ${\displaystyle \forall |\psi \rangle \langle \psi |\in P,\quad \forall U_{g}\in G,\quad U_{g}|\psi \rangle \in P}$
• ${\displaystyle \forall |\psi \rangle \langle \psi |,|\phi \rangle \langle \phi |\in P,\quad \exists U_{g}\in G,\quad U_{g}|\phi \rangle =|\psi \rangle }$

La búsqueda de SIC-POVM se puede simplificar enormemente explotando la propiedad de la covarianza de grupo. De hecho, el problema se reduce a encontrar un vector fiducial normalizado tal que ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle |\langle \phi |U_{g}|\phi \rangle |^{2}={\frac {1}{d+1}}\ \forall g\neq id}$.

El SIC-POVM es entonces el conjunto generado por la acción de grupo de on .${\displaystyle U_{g}}$${\displaystyle |\phi \rangle }$

El caso de Z _d × Z _d

Hasta ahora, la mayoría de los SIC-POVM se han encontrado considerando la covarianza de grupo en . ^[5] Para construir la representación unitaria, mapeamos al grupo de operadores unitarios en d-dimensiones. Primero deben introducirse varios operadores. Sea una base para , entonces el operador de fase es${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$${\displaystyle U(d)}$${\displaystyle |e_{i}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T|e_{i}\rangle =\omega ^{i}|e_{i}\rangle }$¿Dónde está la raíz de la unidad?${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}}}$

y el operador de turno como

${\displaystyle S|e_{i}\rangle =|e_{i+1{\pmod {d}}}\rangle }$

La combinación de estos dos operadores produce el operador Weyl que genera el grupo Heisenberg-Weyl. Este es un operador unitario ya que${\displaystyle W(p,q)=S^{p}T^{q}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W(p,q)W^{\dagger }(p,q)&=S^{p}T^{q}T^{-q}S^{-p}\\&=Id\end{aligned}}}$

Se puede comprobar que el mapeo es una representación unitaria proyectiva. También satisface todas las propiedades de covarianza de grupo, ^[6] y es útil para el cálculo numérico de conjuntos SIC.${\displaystyle (p,q)\in \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}\rightarrow W(p,q)}$

Conjetura de Zauner

Dadas algunas de las propiedades útiles de los SIC-POVM, sería útil si se supiera positivamente si tales conjuntos podrían construirse en un espacio de Hilbert de dimensión arbitraria. Originalmente propuesto en la disertación de Zauner, ^[7] se planteó la hipótesis de una conjetura sobre la existencia de un vector fiducial para dimensiones arbitrarias.

Más específicamente,

Para cada dimensión existe un SIC-POVM cuyos elementos son la órbita de un operador de rango uno positivo bajo el grupo de Weyl-Heisenberg . Además, conmuta con un elemento T del grupo Jacobi . La acción de T en módulo el centro tiene orden tres.${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle H_{d}}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle J_{d}=H_{d}\rtimes SL(2,\mathbb {Z} _{d})}$${\displaystyle H_{d}}$

Utilizando la noción de covarianza de grupo en , esto se puede reformular como ^[8]${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$

Para cualquier dimensión , sea ​​una base ortonormal y defina${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \left\{k\right\}_{k=0}^{d-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

${\displaystyle \displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}},\quad \quad D_{j,k}=\omega ^{\frac {jk}{2}}\sum _{m=0}^{d-1}\omega ^{jm}|k+m{\pmod {d}}\rangle \langle m|}$

Entonces de modo que el conjunto sea ​​un SIC-POVM${\displaystyle \exists |\phi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}}$${\displaystyle \left\{D_{j,k}|\phi \rangle \right\}_{j,k=1}^{d}}$

Resultados parciales

Los resultados algebraicos y analíticos para encontrar conjuntos SIC se han mostrado en el caso límite donde es la dimensión del espacio de Hilbert . ^{[7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]} Además, usando la covarianza del grupo de Heisenberg en , se han encontrado soluciones numéricas para todos los números enteros hasta el final . ^{[5] [8] [10] [14] [15] [16]}${\displaystyle d=2,\dots ,21,24,28,30,31,35,37,39,43,48}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$${\displaystyle d=151}$

La prueba de la existencia de SIC-POVM para dimensiones arbitrarias sigue siendo una cuestión abierta, ^[6] pero es un campo de investigación en curso en la comunidad de información cuántica.

Relación con los diseños esféricos en T

Un diseño t esférico es un conjunto de vectores en la hiperesfera generalizada de dimensión d , de manera que el valor promedio de cualquier polinomio de orden superior es igual al promedio de todos los vectores normalizados . Definiendo como el producto del tensor de pliegues en t de los espacios de Hilbert, y${\displaystyle S=\left\{|\phi _{k}\rangle :|\phi _{k}\rangle \in \mathbb {S} ^{d}\right\}}$${\displaystyle t^{th}}$${\displaystyle f_{t}(\psi )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f_{t}(\psi )}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{t}=\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{t}{\mathcal {H}}}$

${\displaystyle S_{t}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|\Phi _{k}^{t}\rangle \langle \Phi _{k}^{t}|,\quad |\Phi _{k}^{t}\rangle =|\phi _{k}\rangle ^{\otimes t}}$

como el operador del marco del producto del tensor de pliegues en t , se puede demostrar que ^[8] un conjunto de vectores normalizados con forma un diseño t esférico si y solo si${\displaystyle \left\{|\phi _{k}\rangle \in \mathbb {S} ^{d}\right\}_{k=1}^{n}}$${\displaystyle n\geq {t+d-1 \choose d-1}}$

${\displaystyle \displaystyle \mathrm {Tr} \left[S_{t}^{2}\right]=\sum _{j,k}\left|\langle \phi _{j}|\phi _{k}\rangle \right|^{2t}={\frac {n^{2}t!(d-1)!}{(t+d-1)!}}}$

Luego se deduce inmediatamente que cada SIC-POVM es un diseño 2, ya que

${\displaystyle \mathrm {Tr} (S_{2}^{2})=\displaystyle \sum _{j,k}|\langle \phi _{j}|\phi _{k}\rangle |^{4}={\frac {2d^{3}}{d+1}}}$

que es precisamente el valor necesario que satisface el teorema anterior.

Relación con los MUB

En un espacio d- dimensional de Hilbert, se dice que dos bases distintas son mutuamente insesgadas si ${\displaystyle \left\{|\psi _{i}\rangle \right\},\left\{|\phi _{j}\rangle \right\}}$

${\displaystyle \displaystyle |\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle |^{2}={\frac {1}{d}},\quad \forall i,j}$

Esto parece de naturaleza similar a la propiedad simétrica de los SIC-POVM. Wootters señala que un conjunto completo de bases insesgadas produce una estructura geométrica conocida como plano proyectivo finito , mientras que un SIC-POVM (en cualquier dimensión que sea una potencia primaria ) produce un plano afín finito , un tipo de estructura cuya definición es idéntica. a la de un plano proyectivo finito con los roles de puntos y líneas intercambiados. En este sentido, los problemas de los SIC-POVM y de las bases mutuamente insesgadas son duales entre sí. ^[17]${\displaystyle d+1}$

En dimensión , la analogía se puede llevar más allá: un conjunto completo de bases mutuamente insesgadas se puede construir directamente a partir de un SIC-POVM. ^[18] Los 9 vectores del SIC-POVM, junto con los 12 vectores de las bases mutuamente insesgadas, forman un conjunto que puede usarse en una prueba de Kochen-Specker . ^[19] Sin embargo, en el espacio de Hilbert de 6 dimensiones, se conoce un SIC-POVM, pero aún no se ha descubierto un conjunto completo de bases mutuamente insesgadas, y se cree ampliamente que no existe tal conjunto. ^{[20] [21]}${\displaystyle d=3}$

Ver también

• Medición en mecánica cuántica
• Bases mutuamente imparciales
• POVM
• QBism

Referencias

1. CM Caves, CA Fuchs y R. Schack, "Estados cuánticos desconocidos: la representación de Quantum de Finetti", J. Math. Phys. 43, 4537–4559 (2002).
2. CA Fuchs y M. Sasaki, "Exprimir información cuántica a través de un canal clásico: medir la 'Quantumness' de un conjunto de estados cuánticos", Quant. Info. Comp. 3, 377–404 (2003).
3. Appleby, Marcus; Flammia, Steven; McConnell, Gary; Yard, Jon (24 de abril de 2017). "SIC y teoría de números algebraicos". Fundamentos de la Física . 47 (8): 1042–1059. arXiv : 1701.05200 . Código Bibliográfico : 2017FoPh..tmp ... 34A . doi : 10.1007 / s10701-017-0090-7 . ISSN  0015-9018 .
4. CM Cuevas (1999); http://info.phys.unm.edu/~caves/reports/infopovm.pdf
5. Robin Blume-Kohout, Joseph M. Renes, Andrew J. Scott, Carlton M. Caves, http://info.phys.unm.edu/papers/reports/sicpovm.html
6. Appleby, DM (2005). "SIC-POVMs y el grupo extendido de Clifford". Revista de Física Matemática . 46 (5): 052107. arXiv : quant-ph / 0412001 . Código bibliográfico : 2005JMP .... 46e2107A . doi : 10.1063 / 1.1896384 .
7. G. Zauner, Quantendesigns - Grundzüge einer nichtkommutativen Designtheorie. Disertación, Universität Wien, 1999. http://www.gerhardzauner.at/documents/gz-quantendesigns.pdf
8. Renes, Joseph M .; Blume-Kohout, Robin; Scott, AJ; Cuevas, Carlton M. (2004). "Medidas cuánticas informativamente completas simétricas". Revista de Física Matemática . 45 (6): 2171. arXiv : quant-ph / 0310075 . Código Bibliográfico : 2004JMP .... 45.2171R . doi : 10.1063 / 1.1737053 .
9. A. Koldobsky y H. König, "Aspectos de la teoría isométrica de los espacios de Banach", en Manual de geometría de espacios de Banach, vol. 1, editado por WB Johnson y J. Lindenstrauss, (Holanda del Norte, Dordrecht, 2001), págs. 899–939.
10. Scott, AJ; Grassl, M. (2010). "SIC-POVMs: Un nuevo estudio informático". Revista de Física Matemática . 51 (4): 042203. arXiv : 0910.5784 . Código bibliográfico : 2010JMP .... 51d2203S . doi : 10.1063 / 1.3374022 .
11. TY Chien. `` Líneas equiangulares, simetrías proyectivas y bonitos marcos de error. Tesis doctoral de la Universidad de Auckland (2015); https://www.math.auckland.ac.nz/~waldron/Tuan/Thesis.pdf
12. "Vectores fiduciales SIC exactos" . Universidad de Sydney . Consultado el 7 de marzo de 2018 .
13. Appleby, Marcus; Chien, Tuan-Yow; Flammia, Steven; Waldron, Shayne (2018). "Construcción de medidas completas informativamente simétricas exactas a partir de soluciones numéricas". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 51 (16): 165302. arXiv : 1703.05981 . doi : 10.1088 / 1751-8121 / aab4cd .
14. Fuchs, Christopher A .; Stacey, Blake C. (21 de diciembre de 2016). "QBism: teoría cuántica como manual de un héroe". arXiv : 1612.07308 [ quant-ph ].
15. Scott, AJ (11 de marzo de 2017). "SICs: Ampliando la lista de soluciones". arXiv : 1703.03993 [ quant-ph ].
16. Fuchs, Christopher A .; Hoang, Michael C .; Stacey, Blake C. (22 de marzo de 2017). "La Cuestión SIC: Historia y Situación". Axiomas . 6 (4): 21. arXiv : 1703.07901 . doi : 10.3390 / axioms6030021 .
17. Wootters, William K. (2004). "Medidas cuánticas y geometría finita". arXiv : quant-ph / 0406032 .
18. Stacey, Blake C. (2016). "SIC-POVMs y compatibilidad entre estados cuánticos". Matemáticas . 4 (2): 36. arXiv : 1404.3774 . doi : 10.3390 / math4020036 .
19. Bengtsson, Ingemar; Blanchfield, Kate; Cabello, Adán (2012). "Una desigualdad de Kochen-Specker de un SIC". Physics Letters A . 376 (4): 374–376. arXiv : 1109.6514 . Código bibliográfico : 2012PhLA..376..374B . doi : 10.1016 / j.physleta.2011.12.011 .
20. Grassl, Markus (2004). "Sobre SIC-POVM y MUB en Dimensión 6". arXiv : quant-ph / 0406175 .
21. Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometría de estados cuánticos: una introducción al entrelazamiento cuántico (Segunda ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . págs. 313–354. ISBN 9781107026254. OCLC  967938939 .