SQ-grupo universal
En matemáticas , en el ámbito de la teoría de grupos , se dice que un grupo contable es SQ-universal si cada grupo contable puede estar incrustado en uno de sus grupos cocientes . La universalidad SQ se puede considerar como una medida de la amplitud o complejidad de un grupo.
Muchos resultados clásicos de la teoría de grupos combinatorios, que se remontan a 1949, ahora se interpretan como que un grupo particular o una clase de grupos es (son) SQ-universal. Sin embargo, el primer uso explícito del término parece estar en un discurso dado por Peter Neumann en The London Algebra Colloquium titulado "SQ-universal groups" el 23 de mayo de 1968.
En 1949 , Graham Higman , Bernhard Neumann y Hanna Neumann demostraron que todo grupo contable puede integrarse en un grupo de dos generadores. [1] Usando el lenguaje contemporáneo de SQ-universalidad, este resultado dice que F 2 , el grupo libre (no abeliano ) en dos generadores , es SQ-universal. Este es el primer ejemplo conocido de un grupo SQ-universal. Ahora se conocen muchos más ejemplos:
Además, ahora se conocen versiones mucho más sólidas del teorema de Higmann-Neumann-Neumann. Ould Houcine ha demostrado:
Un grupo libre en numerable muchos generadores h 1 , h 2 , ..., h n , ... , por ejemplo, debe ser incrustable en un cociente de un SQ-grupo universal G . Si se eligen de tal manera que para todo n , entonces deben generar libremente un subgrupo libre de G . Por eso:
Dado que cada grupo contable se puede incrustar en un grupo simple contable , a menudo es suficiente considerar incrustaciones de grupos simples. Esta observación nos permite probar fácilmente algunos resultados elementales sobre los grupos SQ-universales, por ejemplo: