La ecuación de Sack-Schamel es una ecuación diferencial parcial de segundo orden en el tiempo y el espacio. Está formulado en coordenadas lagrangianas [1] y describe físicamente la evolución no lineal del fluido iónico frío en un plasma de dos componentes bajo la influencia de un campo eléctrico autoorganizado. La dinámica tiene lugar en la escala de tiempo iónica. Por lo tanto, los electrones pueden tratarse en equilibrio y describirse, por ejemplo, mediante una distribución de Boltzmann isotérmica.para la densidad. Complementado por condiciones de contorno adecuadas, describe todo el espectro de posibles eventos de los que es capaz el fluido iónico, tanto global como localmente en el espacio-tiempo. Su aplicación más espectacular es la expansión 1-D de un plasma al vacío, que inicialmente está confinado en un medio espacio, y la posterior aparición de un colapso de densidad iónica localmente en el espacio-tiempo (frente de iones puntiagudos). [2]
La ecuacion
La ecuación de Sack-Schamel está en su forma más simple, es decir, para electrones isotérmicos, dada por
¿Hay en él el volumen específico del fluido iónico, la variable de masa de Lagrange yt el tiempo (ver el texto siguiente).
Derivación y aplicación
Tratamos, a modo de ejemplo, la expansión del plasma al vacío, es decir, un plasma que se confina inicialmente en un medio espacio y se libera en t = 0 para ocupar en el transcurso del tiempo la segunda mitad. [3] [4] [5] [6] La dinámica de tal plasma de dos componentes, que consiste en electrones isotérmicos similares a Botzmann y un fluido iónico frío, se rige por las ecuaciones iónicas de continuidad y momento, y , respectivamente.
De este modo, ambas especies se acoplan a través del campo eléctrico autoorganizado. , que satisface la ecuación de Poisson, . Complementados con condiciones iniciales y de contorno adecuadas (bcs), representan un conjunto de ecuaciones autoconsistentes e intrínsecamente cerradas que representan el flujo de iones laminar en su patrón completo en la escala de tiempo de iones.
Higos. 1a, 1b muestran un ejemplo de una evolución típica. [2] [6] La figura 1a muestra la densidad de iones en el espacio x para diferentes tiempos discretos, la figura 1b es una pequeña sección del frente de densidad.
Lo más notable es la aparición de un frente de iones puntiagudo asociado con el colapso de la densidad en un cierto punto del espacio-tiempo. . Aquí, la cantidadse convierte en cero. Este evento se conoce como "rompimiento de olas" por analogía con un fenómeno similar que ocurre con las olas del agua que se acercan a una playa.
Este resultado se obtiene mediante un esquema numérico de Lagrange, en el que las coordenadas de Euler son reemplazados por coordenadas de Lagrange , y por los llamados bcs abiertos, que se formulan mediante ecuaciones diferenciales de primer orden. [2] [6]
Esta transformación es proporcionada por , , dónde es la variable de masa lagrangiana. [1] La transformación inversa está dada por y tiene la identidad: . Con esta identidad pasamos por una derivación x o . En el segundo paso se utilizó la definición de la variable de masa que es constante a lo largo de la trayectoria de un elemento fluido:. Esto se desprende de la definición de, de la ecuación de continuidad y de la sustitución de por . Por eso. La velocidad de un elemento fluido coincide con la velocidad local del fluido.
Inmediatamente sigue: donde se ha utilizado la ecuación de la cantidad de movimiento así como , que se desprende de la definición de y de .
Reemplazo por obtenemos de la ecuación de Poisson: . Por eso. Finalmente, reemplazando en el expresión obtenemos la ecuación deseada:. Aquí es una función de : y por conveniencia podemos reemplazar por . Se pueden encontrar más detalles sobre esta transición de uno a otro sistema de coordenadas en. [1] Nótese su carácter inusual debido a la ocurrencia implícita de. Físicamente, V representa el volumen específico. Es equivalente con el jacobiano J de la transformación de las coordenadas eulerianas a lagrangianas, ya que tiene
Solución rompe olas
Por lo general, no se dispone de una solución global analítica de la ecuación de Sack-Schamel. Lo mismo se aplica al problema de la expansión del plasma. Esto significa que los datosporque el colapso no se puede predecir, sino que debe tomarse de la solución numérica. No obstante, es posible, localmente en el espacio y el tiempo, obtener una solución a la ecuación. Esto se presenta en detalle en la Sección 6 "Teoría del agrupamiento y rotura de ondas en la dinámica iónica" de. [2] La solución se puede encontrar en la ecuación (6.37) y se lee para pequeñosy t
dónde son constantes y representar . El colapso es, por tanto, en. tiene forma de V en y su mínimo se mueve linealmente con hacia el punto cero (ver Fig. 7 de [2] ). Esto significa que la densidad n diverge en cuando volvamos a las variables lagrangianas originales.
Se ve fácilmente que la pendiente de la velocidad, , diverge también cuando . En la fase de colapso final, la ecuación de Sack-Schamel pasa a la ecuación de onda escalar casi neutra: y la dinámica iónica obedece a la ecuación de onda simple de Euler: . [7]
Generalización
Se logra una generalización permitiendo diferentes ecuaciones de estado para los electrones. Suponiendo una ecuación de estado politrópica, o con : dónde se refiere a electrones isotérmicos, obtenemos (ver nuevamente la Sección 6 de [2] ):
La limitación de resulta de la demanda de que en el infinito la densidad de electrones desaparezca (por el problema de la expansión en el vacío). Para obtener más detalles, consulte la sección. 2: "El modelo de expansión de plasma" de [2] o más explícitamente Sect. 2.2: "Restricciones a la dinámica electrónica".
Agrupación rápida de iones
Estos resultados son notables en dos aspectos. El colapso, que podría resolverse analíticamente mediante la ecuación de Sack-Schamel, señala a través de su singularidad la ausencia de física real. Un plasma real puede continuar de al menos dos formas. O entra en el régimen cinético de Vlasov sin colisión [8] y desarrolla efectos de flujo múltiple y plegado en el espacio de fase [4] o experimenta disipación (por ejemplo, a través de la viscosidad de Navier-Stokes en la ecuación de momento [2] [6] [8] ) que controla aún más la evolución en la fase posterior. Como consecuencia, el pico de densidad iónica se satura y continúa su aceleración hacia el vacío manteniendo su naturaleza puntiaguda. [2] [6] Este fenómeno de agrupación de iones rápidos que se reconoce por su frente de iones rápidos puntiagudos ha recibido una inmensa atención en el pasado reciente en varios campos. Los chorros de iones de alta energía son importantes y prometedores en aplicaciones como en la interacción láser-plasma, [9] [10] [11] [12] en la irradiación láser de objetivos sólidos, también se conocen como aceleración de la vaina normal del objetivo , [13] [14] [15] [16] en futuros aceleradores de partículas basados en plasma y fuentes de radiación (por ejemplo, para terapia de tumores) [17] y en plasmas espaciales. [18] Los racimos de iones rápidos son, por tanto, una reliquia de la rotura de olas que se describe analíticamente por completo mediante la ecuación de Sack-Schamel. (Para obtener más detalles, especialmente sobre la naturaleza puntiaguda del frente de iones rápidos en caso de disipación, consulte http://www.hans-schamel.de o los documentos originales [19] [20] ). Por ejemplo, Beck y Pantellini (2009) publicaron un artículo en el que se menciona el mecanismo de ruptura de ondas de Sack-Schamel como el origen de un frente de iones de pico. [21]
Finalmente, la notabilidad de la ecuación de Sack-Schamel se aclara a través de una simulación de dinámica molecular recientemente publicada. [22] En la fase inicial de la expansión del plasma se pudo observar un pico de iones distinto, lo que enfatiza la importancia del escenario de ruptura de olas como lo predice la ecuación.
Enlaces web
- www.hans-schamel.de más información por Hans Schamel
Referencias
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