Paradoja de San Petersburgo
La paradoja de San Petersburgo o la lotería de San Petersburgo [1] es una paradoja que involucra el juego de lanzar una moneda donde el pago esperado del juego de lotería teórico se acerca al infinito pero, sin embargo, parece valer solo una cantidad muy pequeña para los participantes. La paradoja de San Petersburgo es una situación en la que un criterio de decisión ingenuo que solo tiene en cuenta el valor esperado predice un curso de acción que, presumiblemente, ninguna persona real estaría dispuesta a tomar. Está relacionado con la probabilidad y la teoría de la decisión en economía . Se han propuesto varias soluciones a la paradoja.
El problema fue inventado por Nicolas Bernoulli , [2] quien lo planteó en una carta a Pierre Raymond de Montmort el 9 de septiembre de 1713. [3] [4] Sin embargo, la paradoja toma su nombre de su análisis por el primo de Nicolas, Daniel Bernoulli . , antiguo residente de la ciudad rusa del mismo nombre , que en 1738 publicó sus pensamientos sobre el problema en los Comentarios de la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo . [5]
Un casino ofrece un juego de azar para un solo jugador en el que se lanza una moneda justa en cada etapa. La apuesta inicial comienza en 2 dólares y se duplica cada vez que aparece cara. La primera vez que sale cruz, el juego termina y el jugador gana lo que haya en el bote. Así, el jugador gana 2 dólares si sale cruz en el primer lanzamiento, 4 dólares si sale cara en el primer lanzamiento y cruz en el segundo, 8 dólares si sale cara en los dos primeros lanzamientos y cruz en el tercero, y así sucesivamente. Matemáticamente, el jugador gana dólares, donde está el número de lanzamientos de cabeza consecutivos. ¿Cuál sería un precio justo a pagar al casino por ingresar al juego?
Para responder a esto, se necesita considerar cuál sería el pago esperado en cada etapa: con probabilidad 1/2 , el jugador gana 2 dólares; con probabilidad 1/4 el jugador gana 4 dólares; con probabilidad 1/8 el jugador gana 8 dólares, y así sucesivamente . Suponiendo que el juego puede continuar mientras el lanzamiento de la moneda resulte en cara y, en particular, que el casino tenga recursos ilimitados, el valor esperado es, por lo tanto,
Teniendo en cuenta nada más que el valor esperado del cambio neto en la riqueza monetaria de uno, uno debe jugar el juego a cualquier precio si se le ofrece la oportunidad. Sin embargo, Daniel Bernoulli , después de describir el juego con una apuesta inicial de un ducado , declaró: "Aunque el cálculo estándar muestra que el valor de la expectativa [del jugador] es infinitamente grande, tiene que... hombre vendería su oportunidad, con gran placer, por veinte ducados". [5] Robert Martin cita a Ian Hacking diciendo: "Pocos de nosotros pagaríamos incluso $ 25 para participar en un juego así", y dice que la mayoría de los comentaristas estarían de acuerdo. [7]La paradoja es la discrepancia entre lo que la gente parece dispuesta a pagar para entrar en el juego y el valor esperado infinito. [5] Estrictamente hablando, la paradoja de San Petersburgo no es una paradoja, ya que no se deriva una declaración lógicamente contradictoria. Sin embargo, se presenta un contraejemplo contra el principio de maximizar el valor esperado.
La resolución clásica de la paradoja implicó la introducción explícita de una función de utilidad , una hipótesis de utilidad esperada y la presunción de una utilidad marginal decreciente del dinero.
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