El teorema del punto fijo de Schauder es una extensión del teorema del punto fijo de Brouwer a los espacios vectoriales topológicos , que pueden ser de dimensión infinita. Afirma que sies un subconjunto cerrado convexo no vacío de un espacio vectorial topológico de Hausdorff y es un mapeo continuo de en sí mismo de tal manera que está contenido en un subconjunto compacto de, luego tiene un punto fijo .
Una consecuencia, llamada teorema del punto fijo de Schaefer , es particularmente útil para demostrar la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales . El teorema de Schaefer es de hecho un caso especial del teorema de Leray-Schauder de gran alcance que fue probado anteriormente por Juliusz Schauder y Jean Leray . La declaración es la siguiente:
Dejar ser un mapeo continuo y compacto de un espacio de Banach en sí mismo, de modo que el conjunto
está ligado. Luego tiene un punto fijo.
Historia
El teorema fue conjeturado y probado para casos especiales, como los espacios de Banach, por Juliusz Schauder en 1930. Su conjetura para el caso general fue publicada en el libro escocés . En 1934, Tychonoff demostró el teorema para el caso en que K es un subconjunto convexo compacto de un espacio convexo local . Esta versión se conoce como el teorema de punto fijo de Schauder-Tychonoff . BV Singbal demostró el teorema para el caso más general donde K puede ser no compacto; la prueba se puede encontrar en el apéndice del libro de Bonsall (ver referencias).
Ver también
Referencias
- J. Schauder, Der Fixpunktsatz en Funktionalräumen , Studia Math. 2 (1930), 171–180
- A. Tychonoff, Ein Fixpunktsatz , Mathematische Annalen 111 (1935), 767–776
- FF Bonsall, Conferencias sobre algunos teoremas de análisis funcional del punto fijo , Bombay 1962
- D. Gilbarg, N. Trudinger , Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . ISBN 3-540-41160-7 .
- E. Zeidler, Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones, I - Teoremas de punto fijo
enlaces externos
- "Teorema de Schauder" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "Teorema del punto fijo de Schauder" . PlanetMath . con prueba adjunta (para el caso del espacio Banach).