En matemáticas , un espacio vectorial topológico (también llamado espacio topológico lineal y TVS o televisores comúnmente abreviado ) es una de las estructuras básicas investigadas en el análisis funcional . Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial (una estructura algebraica ) que también es un espacio topológico , esto implica que las operaciones del espacio vectorial sean funciones continuas . Más específicamente, su espacio topológico tiene una estructura topológica uniforme , lo que permite una noción de convergencia uniforme .
Los elementos de los espacios vectoriales topológicos son típicamente funciones u operadores lineales que actúan sobre espacios vectoriales topológicos, y la topología se define a menudo para capturar una noción particular de convergencia de secuencias de funciones.
Los espacios de Banach , los espacios de Hilbert y los espacios de Sobolev son ejemplos bien conocidos.
A menos que se indique lo contrario, se supone que el campo subyacente de un espacio vectorial topológico son los números complejos o los números reales .
Motivación
- Espacios normativos
Todo espacio vectorial normado tiene una estructura topológica natural : la norma induce una métrica y la métrica induce una topología. Este es un espacio vectorial topológico porque:
- La suma vectorial +: X × X → X es conjuntamente continua con respecto a esta topología. Esto se sigue directamente de la desigualdad triangular obedecida por la norma.
- La multiplicación escalar dónde es el campo escalar subyacente de X , es conjuntamente continuo. Esto se sigue de la desigualdad triangular y la homogeneidad de la norma.
Por tanto, todos los espacios de Banach y de Hilbert son ejemplos de espacios vectoriales topológicos.
- Espacios no normativos
Hay espacios vectoriales topológicos cuya topología no está inducida por una norma, pero que siguen siendo de interés para el análisis. Ejemplos de tales espacios son los espacios de funciones holomórficas en un dominio abierto, los espacios de funciones infinitamente diferenciables , los espacios de Schwartz y los espacios de funciones de prueba y los espacios de distribuciones en ellos. Todos estos son ejemplos de espacios de Montel . Un espacio Montel de dimensión infinita nunca es normalizable. La existencia de una norma para un espacio vectorial topológico dado se caracteriza por el criterio de normabilidad de Kolmogorov .
Un campo topológico es un espacio vectorial topológico sobre cada uno de sus subcampos .
Definición
Un espacio vectorial topológico ( TVS ) X es un espacio vectorial sobre un campo topológico (la mayoría de las veces los números reales o complejos con sus topologías estándar) que está dotado de una topología tal que la suma de vectores +: X × X → X y la multiplicación escalarson funciones continuas (donde los dominios de estas funciones están dotados de topologías de producto ). Esta topología se llama una topología de vector o una topología de TVS en X .
Cada espacio vectorial topológico es también un grupo topológico conmutativo en adición.
- Supuesto de Hausdorff
Algunos autores (por ejemplo, Walter Rudin ) requieren que la topología en X sea T 1 ; entonces se sigue que el espacio es Hausdorff , e incluso Tychonoff . Se dice que un espacio vectorial topológico está separado si es de Hausdorff; lo que es más importante, "separados" no significa separables . Las estructuras algebraicas lineales y topológicas se pueden unir aún más estrechamente con suposiciones adicionales, las más comunes de las cuales se enumeran a continuación .
- Categoría y morfismos
La categoría de espacios vectoriales topológicos sobre un campo topológico dado.se denota comúnmente TVSo TVect. Los objetos son los espacios vectoriales topológicos sobrey los morfismos son los continuos K {\ Displaystyle \ mathbb {K}} -Mapas lineales de un objeto a otro.
Un homomorfismo TVS u homomorfismo topológico [1] [2] es un mapa lineal continuo u : X → Y entre espacios vectoriales topológicos (TVS) tal que el mapa inducido u : X → Im u es un mapeo abierto cuando Im u , que es el rango o la imagen de u , se da la topología del subespacio inducida por y .
Una incrustación de TVS o un monomorfismo topológico es un homomorfismo topológico inyectivo . De manera equivalente, una incrustación de TVS es un mapa lineal que también es una incrustación topológica . [1]
Un isomorfismo TVS o un isomorfismo en la categoría de TVS es un homeomorfismo lineal biyectivo . De manera equivalente, es una incrustación de TVS sobreyectiva [1]
Muchas propiedades de los TVS que se estudian, como la convexidad local , la metrizabilidad , la integridad y la normalidad , son invariantes bajo los isomorfismos TVS.
- Una condición necesaria para una topología vectorial
Una colección 𝒩 de subconjuntos de un espacio vectorial se llama aditivo [3] si para cada N ∈ 𝒩 , existe algún U ∈ 𝒩 tal que T + U ⊆ N .
Caracterización de la continuidad de la adición en 0 [3] - Si ( X , +) es un grupo (como lo son todos los espacios vectoriales), τ es una topología en X , y X × X está dotado de la topología del producto , entonces el mapa de adición X × X → X (es decir, el mapa ( x , y ) ↦ x + y ) es continuo en el origen de X × X si y solo si el conjunto de vecindades del origen en ( X , τ) es aditivo. Esta afirmación sigue siendo cierta si la palabra "vecindario" se reemplaza por "vecindario abierto".
Por consiguiente, todas las condiciones anteriores son una necesidad para que una topología forme una topología vectorial.
Definición de topologías utilizando vecindarios del origen
Dado que toda topología vectorial es invariante en la traducción (es decir, para todo x 0 ∈ X , el mapa X → X definido por x ↦ x 0 + x es un homeomorfismo ), para definir una topología vectorial basta con definir una base de vecindad (o subbase) por ello en el origen.
Teorema [4] (Filtro de vecindad del origen) - Suponga que X es un espacio vectorial real o complejo. Si ℬ es un no vacío colección aditivo de equilibrado y de absorción de subconjuntos de X entonces ℬ es una base de barrio en 0 para una topología de vector en X . Es decir, los supuestos son que ℬ es una base de filtro que satisface las siguientes condiciones:
- Cada B ∈ ℬ es equilibrado y absorbente ,
- ℬ es aditivo: Para cada B ∈ ℬ existe un U ∈ ℬ tal que U + U ⊆ B ,
Si ℬ satisface las dos condiciones anteriormente pero es no una base del filtro a continuación, se forma una zona de sub base a 0 (en lugar de una base barrio) para una topología de vector en X .
En general, el conjunto de todos los subconjuntos equilibrados y absorbentes de un espacio vectorial no satisface las condiciones de este teorema y no forma una base de vecindad en el origen de ninguna topología vectorial. [3]
Definición de topologías mediante cadenas
Sea X un espacio vectorial y sea U • = ( U i )∞
yo = 1ser una secuencia de subconjuntos de X . Cada conjunto en la secuencia U • se llama un nudo de U • y para cada índice i , U i se llama el i- ésimo nudo de U • . El conjunto U 1 se denomina comienzo de U • . La secuencia U • es / es a: [5] [6] [7]
- Sumativo si U i +1 + U i +1 ⊆ U i para cada índice i .
- Equilibrado (resp. Absorbente , cerrado , [nota 1] convexo , abierto , simétrico , barrenado , absolutamente convexo / discado , etc.) si esto es cierto para cada U i .
- Cadena si U • es sumativa, absorbente y equilibrada.
- Topológica cadena o una cadena de barrio en una TVS X si T • es una cadena y cada uno de sus nudos es un entorno del origen en X .
Si U es un absorbente de disco en un espacio vectorial X entonces la secuencia definida por T i ≝ 2 1 - i U forma una cadena que comienza con U 1 = U . Esto se llama la cadena natural de U [5] Además, si un espacio vectorial X tiene una dimensión contable, entonces cada cadena contiene una cadena absolutamente convexa .
Las secuencias sumativas de conjuntos tienen la propiedad particularmente agradable de que definen funciones subaditivas continuas no negativas de valor real . Estas funciones se pueden utilizar para probar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos.
Teorema (-función valorada inducida por una cadena) - Sea U • = ( U i )∞
yo = 0ser una colección de subconjuntos de un espacio vectorial tal que 0 ∈ U i y U i +1 + U i +1 ⊆ U i para todo i ≥ 0 . Para todo u ∈ U 0 , sea
- ( u ) ≝ { n • = ( n 1 , ⋅⋅⋅, n k ): k ≥ 1, n i ≥ 0 para todo i , y u ∈ U n 1 + ⋅⋅⋅ + U n k .
Defina f : X → [0, 1] por f ( x ) = 1 si x ∉ U 0 y en caso contrario sea
- f ( x ) ≝ inf {2 - n 1 + ⋅⋅⋅ + 2 - n k : n • = ( n 1 , ⋅⋅⋅, n k ) ∈( x ) .
Entonces f es subaditivo (es decir, f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ) para todo x , y ∈ X ) y f = 0 en U i , entonces en particular f (0) = 0 . Si todos U i son conjuntos simétricos, entonces f (- x ) = f ( x ) y si todos U i están equilibrados, entonces f ( sx ) ≤ f ( x ) para todos los escalares s tales que | s | ≤ 1 y todo x ∈ X . Si X es un espacio vectorial topológico y si todos U i son vecindarios del origen, entonces f es continua, donde si además X es Hausdorff y U • forma una base de vecindarios balanceados del origen en X, entonces d ( x , y ) ≝ f ( x - Y ) es una métrica que define la topología de vector en X .
Prueba |
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Suponga que n • = ( n 1 , ⋅⋅⋅, n k ) siempre denota una secuencia finita de enteros no negativos y use la notación:
Observe que para cualquier número entero n ≥ 0 y d > 2 ,
De esto se deduce que si n • = ( n 1 , ⋅⋅⋅, n k ) consta de enteros positivos distintos, entonces ∑ U n • ⊆ U -1 + min ( n • ) . Ahora se mostrará por inducción sobre k que si n • = ( n 1 , ⋅⋅⋅, n k ) consta de enteros no negativos tales que ∑ 2 - n • ≤ 2 - M para algún entero M ≥ 0 entonces ∑ U n • ⊆ U M . Esto es claramente cierto para k = 1 y k = 2, así que suponga que k > 2 , lo que implica que todos los n i son positivos. Si todos n i son distintos, entonces se realiza este paso; de lo contrario, elija índices distintos i < j tales que n i = n j y construya m • = ( m 1 , ⋅⋅⋅, m k -1 ) a partir de n • reemplazando n i con n i - 1 y eliminando el j- ésimo elemento de n • (todos los demás elementos de n • se transfieren a m • sin cambios). Observe que ∑ 2 - n • = ∑ 2 - m • y ∑ U n • ⊆ ∑ U m • (ya que U n i + U n j ⊆ U n i - 1 ) entonces, al apelar a la hipótesis inductiva, se sigue que que ∑ U n • ⊆ ∑ U m • ⊆ U M , según lo desee. Es claro que f (0) = 0 y que 0 ≤ f ≤ 1 por lo que para demostrar que f es subaditivo, basta con demostrar que f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ) cuando x , y ∈ X son tales que f ( x ) + f ( y ) <1 , lo que implica que x , y ∈ U 0 . Este es un ejercicio. Si todo U i son simétricas entonces x ∈ sigma U n • si y sólo si - x ∈ sigma U n • de la que se deduce que f (- x ) ≤ f ( x ) y f (- x ) ≥ f ( x ) . Si todos U i están equilibrados, entonces la desigualdad f ( sx ) ≤ f ( x ) para todos los escalares unitarios s se demuestra de manera similar. Dado que f es una función subaditiva no negativa que satisface f (0) = 0 , f es uniformemente continua en X si y solo si f es continua en 0 . Si todos U i son vecindarios del origen, entonces para cualquier r > 0 real , elija un entero M > 1 tal que 2 - M < r de modo que x ∈ U M implica f ( x ) ≤ 2 - M < r . Si todo U i forma la base de vecindades equilibradas del origen, entonces se puede mostrar que para cualquier n > 0 , existe un 0 < r ≤ 2 - n tal que f ( x ) < r implica x ∈ U n . ∎ |
Si U • = ( U i ) i ∈y V • = ( V i ) i ∈son dos colecciones de subconjuntos de un espacio vectorial X y si s es un escalar, entonces, por definición: [5]
- V • contiene U • : U • ⊆ V • si y solo si U i ⊆ V i para cada índice i .
- Conjunto de nudos : Nudos ( U • ) ≝ { U i : i ∈ } .
- Kernel : ker U • ≝ U i .
- Múltiplo escalar : s U • ≝ ( s U i ) i ∈ .
- Suma : U • + V • ≝ ( U i + V i ) i ∈ .
- Intersección : U • ∩ V • ≝ ( U i ∩ V i ) i ∈ .
Si es una colección de secuencias de subconjuntos de X , entoncesse dice que está dirigido ( hacia abajo ) bajo inclusión o simplemente dirigido sino está vacío y para todos U • , V • ∈existe algo de W • ∈tal que W • ⊆ U • y W • ⊆ V • (dicho de manera diferente, si y solo sies un prefiltro con respecto a la contención ⊆ definida anteriormente).
Notación : Let Knots () ≝ Nudos ( U • ) es el conjunto de todos los nudos de todas las cuerdas en.
La definición de topologías vectoriales utilizando colecciones de cadenas es particularmente útil para definir clases de TVS que no son necesariamente convexas localmente.
Teorema [5] (Topología inducida por cadenas) - Si ( X , 𝜏) es un espacio vectorial topológico, entonces existe un conjunto[prueba 1] de cadenas vecinas en X que se dirige hacia abajo y tal que el conjunto de todos los nudos de todas las cadenas enes una base de vecindad en el origen de ( X , 𝜏) . Tal colección de cadenas se dice que es τ fundamental .
Por el contrario, si X es un espacio vectorial y sies una colección de cadenas en X que se dirige hacia abajo, luego el conjunto Nudos () de todos los nudos de todas las cuerdas enforma una base barrio en el origen de una topología vectorial sobre X . En este caso, esta topología se denota pory se llama topología generada por.
Si es el conjunto de todas las cadenas topológicas en un TVS ( X , 𝜏) entonces[5] Un TVS de Hausdorff es metrizable si y solo si su topología puede ser inducida por una sola cadena topológica. [8]
Estructura topológica
Un espacio vectorial es un grupo abeliano con respecto a la operación de suma, y en un espacio vectorial topológico la operación inversa es siempre continua (ya que es lo mismo que la multiplicación por -1). Por tanto, todo espacio vectorial topológico es un grupo topológico abeliano . Todos los televisores son completamente normales, pero no es necesario que los televisores sean normales . [9]
Sea X un espacio vectorial topológico. Dado un subespacio M ⊂ X , el espacio cociente X / M con la topología cociente habitual es un espacio vectorial topológico de Hausdorff si y solo si M está cerrado. [nota 2] Esto permite la siguiente construcción: dado un espacio vectorial topológico X (que probablemente no sea Hausdorff), forme el espacio cociente X / M donde M es el cierre de {0}. X / M es entonces un espacio vectorial topológico Hausdorff que puede ser estudiado en lugar de X .
Invarianza de topologías vectoriales
Una de las propiedades más utilizadas de las topologías vectoriales es que cada topología vectorial es invariante en la traducción :
- para todo x 0 ∈ X , el mapa X → X definido por x ↦ x 0 + x es un homeomorfismo , pero si x 0 ≠ 0 entonces no es lineal y por lo tanto no es un isomorfismo TVS.
La multiplicación escalar por un escalar distinto de cero es un isomorfismo TVS. Esto significa que si s ≠ 0 entonces el mapa lineal X → X definido por x ↦ s x es un homeomorfismo. El uso de s = −1 produce el mapa de negación X → X definido por x ↦ - x , que en consecuencia es un homeomorfismo lineal y, por lo tanto, un isomorfismo TVS.
Si x ∈ X y cualquier subconjunto S ⊆ X , entonces cl ( x + S ) = x + cl ( S ) [4] y además, si 0 ∈ S entonces x + S es un vecindario (resp. Vecindario abierto, vecindario cerrado ) de x en X si y solo si lo mismo es cierto para S en el origen.
Nociones locales
Se dice que un subconjunto E de un espacio vectorial X es
- absorbente (en X ): si para todo x ∈ X , existe un r > 0 realtal que c x ∈ E para cualquier escalar c que satisfaga | c | ≤ r .
- equilibrado o en un círculo : si tE ⊆ E para cada escalar | t | ≤ 1 .
- convexo : si tE + (1− t ) E ⊆ E para todo 0 real ≤ t ≤ 1 .
- un disco o absolutamente convexo : si E es convexo y equilibrado.
- simétrica : si - E ⊆ E , o de manera equivalente, si - E = E .
Cada vecindario de 0 es un conjunto absorbente y contiene un vecindario equilibrado abierto de 0 [4], por lo que cada espacio vectorial topológico tiene una base local de conjuntos absorbentes y equilibrados . El origen incluso tiene una base de vecindad que consiste en vecindarios equilibrados cerrados de 0; si el espacio es localmente convexo, entonces también tiene una base de vecindad que consiste en vecindades equilibradas convexas cerradas de 0.
- Subconjuntos acotados
Un subconjunto E de un espacio vectorial topológico X está acotado [10] si para cada vecindario V de 0 , entonces E ⊆ tV cuando t es suficientemente grande.
La definición de delimitación puede debilitarse un poco; E está acotado si y solo si todos sus subconjuntos contables están acotados. Un conjunto está acotado si y solo si cada una de sus subsecuencias es un conjunto acotado. [11] Además, E está acotado si y solo si para cada vecindario equilibrado V de 0, existe t tal que E ⊆ tV . Por otra parte, cuando X es localmente convexa, la acotación se puede caracterizar por seminormas : el subconjunto E está limitada si y sólo si cada continua seminorma p es limitado en E .
Todo conjunto totalmente acotado está acotado. [11] Si M es un subespacio vectorial de un TVS X , entonces un subconjunto de M está delimitada en M si y sólo si está delimitada en X . [11]
Metrizabilidad
Teorema de Birkhoff-Kakutani - Si ( X , τ) es un espacio vectorial topológico, entonces las siguientes tres condiciones son equivalentes: [12] [nota 3]
- El origen {0} es cerrado en X , y hay un contable base de los barrios de 0 en X .
- ( X , τ) es metrizable (como espacio topológico).
- Hay una métrica invariante por traslación sobre X que induce en X la topología T se , que es la topología dada en X .
- ( X , τ) es un espacio vectorial topológico metrizable . [nota 4]
Según el teorema de Birkhoff-Kakutani, se deduce que existe una métrica equivalente que es invariante en la traducción.
Un TVS es pseudometrizable si y solo si tiene una base de vecindad contable en el origen, o equivalente, si y solo si su topología es generada por una F- semifinal . Un TVS es metrizable si y solo si es Hausdorff y pseudometrizable.
Más fuertemente: se dice que un espacio vectorial topológico es normable si su topología puede ser inducida por una norma. Un espacio vectorial topológico es normal si y solo si es de Hausdorff y tiene una vecindad acotada convexa de 0 . [13]
Dejar ser un campo topológico localmente compacto no discreto , por ejemplo, los números reales o complejos. Un espacio vectorial topológico de Hausdorff sobrees localmente compacto si y sólo si es de dimensión finita , es decir, isomorfo apara algún número natural n .
Completitud y estructura uniforme
La uniformidad canónica [14] en un TVS ( X , τ) es la traducción invariante único uniformidad que induce la topología τ en X .
Se supone que cada TVS está dotado de esta uniformidad canónica, que convierte a todos los TVS en espacios uniformes . Esto permite a uno [ aclaración necesaria ] acerca de nociones relacionadas como completitud , convergencia uniforme , redes de Cauchy y continuidad uniforme . etc., que siempre se asume con respecto a esta uniformidad (a menos que se indique otra). Esto implica que cada espacio vectorial topológico de Hausdorff es Tychonoff . [15] Un subconjunto de un TVS es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado (para los TVS de Hausdorff, un conjunto totalmente acotado equivale a ser precompacto ). Pero si el TVS no es Hausdorff, existen subconjuntos compactos que no están cerrados. Sin embargo, el cierre de un subconjunto compacto de un TVS que no es de Hausdorff es nuevamente compacto (por lo que los subconjuntos compactos son relativamente compactos ).
Con respecto a esta uniformidad, una red (o secuencia) x • = ( x i ) i ∈ I es Cauchy si y solo si para cada vecindario V de 0 , existe algún índice i tal que x m - x n ∈ V siempre que j ≥ yo y k ≥ yo .
Cada secuencia de Cauchy está delimitada, aunque las redes de Cauchy y los filtros de Cauchy pueden no estar delimitados. Un espacio vectorial topológico en el que converge toda secuencia de Cauchy se denomina secuencialmente completo ; en general, puede que no esté completo (en el sentido de que todos los filtros de Cauchy convergen).
La operación de adición del espacio vectorial es uniformemente continua y un mapa abierto . La multiplicación escalar es Cauchy continua pero, en general, casi nunca es uniformemente continua. Debido a esto, cada espacio vectorial topológico se puede completar y, por lo tanto, es un subespacio lineal denso de un espacio vectorial topológico completo .
- Cada TV tiene una terminación y cada Hausdorff TVS tiene una terminación de Hausdorff. [4] Cada TVS (incluso aquellos que son Hausdorff y / o completos) tiene infinitas terminaciones no isomórficas que no son de Hausdorff.
- Un subconjunto compacto de un TVS (no necesariamente Hausdorff) está completo. [16] Se cierra un subconjunto completo de un TVS de Hausdorff. [dieciséis]
- Si C es un subconjunto completo de un TVS, entonces cualquier subconjunto de C que esté cerrado en C está completo. [dieciséis]
- Una secuencia de Cauchy en un Hausdorff TVS X no es necesariamente relativamente compacta (es decir, su cierre en X no es necesariamente compacto).
- Si un filtro de Cauchy en un TVS tiene un punto de acumulación x, entonces converge ax .
- Si una serie ∑∞
yo = 1 x i converge [nota 5] en un TVS X entonces x i → 0 en X . [17]
Ejemplos de
Topología vectorial más fina y burda
Sea X un espacio vectorial real o complejo.
- Topología trivial
La topología trivial o topología indiscreta { X , ∅} es siempre una topología TVS en cualquier espacio vectorial X y es la topología TVS más burda posible. Una consecuencia importante de esto es que la intersección de cualquier colección de topologías TVS en X siempre contiene una topología TVS. Cualquier espacio vectorial (incluidos los que son de dimensión infinita) dotado de la topología trivial es un compacto (y por tanto localmente compacto ) completa pseudometrizable seminormable localmente convexa espacio topológico vector. Es Hausdorff si y solo si dim X = 0 .
- Topología vectorial más fina
Existe una topología TVS τ f en X que es más fina que cualquier otra topología TVS en X (es decir, cualquier topología TVS en X es necesariamente un subconjunto de 𝜏 f ). [18] [19] Todo mapa lineal desde ( X , τ f ) a otro TVS es necesariamente continuo. Si X tiene una incontable base de Hamel entonces τ f es no convexa localmente y no metrizable . [19]
Espacios vectoriales de producto
Un producto cartesiano de una familia de espacios vectoriales topológicos, cuando está dotado de la topología del producto , es un espacio vectorial topológico. Considere, por ejemplo, el conjunto X de todas las funciones dónde lleva su topología euclidiana habitual . Este conjunto X es un espacio vectorial real (donde la suma y la multiplicación escalar se definen puntualmente, como es habitual) que se puede identificar con (y de hecho, a menudo se define como) el producto cartesiano. , que lleva la topología de producto natural . Con esta topología de producto, X ≝se convierte en un espacio vectorial topológico cuya topología se denomina topología de convergencia puntual en. La razón de este nombre es el siguiente: si ( f n ) es una secuencia (o más generalmente, una red ) de elementos en X y si f ∈ X entonces f n converge a f en X si y sólo si para cada número real x , f n ( x ) converge af ( x ) en. Este TVS es completo , de Hausdorff y localmente convexo pero no metrizable y, por lo tanto, no normalizable ; de hecho, cada vecindad del origen en la topología del producto contiene líneas (es decir, subespacios vectoriales unidimensionales, que son subconjuntos de la forma f ≝ { r f : r ∈} con f ≠ 0 ).
Espacios de dimensión finita
Dejar denotar o y dotar con su topología euclidiana normalizada de Hausdorff habitual . Sea X un espacio vectorial sobrede dimensión finita n = dim X y por lo que X es el espacio vectorial isomorfo a(explícitamente, esto significa que existe un isomorfismo lineal entre los espacios vectoriales X y). Este espacio vectorial de dimensión finita X siempre tiene una topología vectorial de Hausdorff única , lo que lo convierte en TVS-isomorfo a, dónde está dotado de la topología euclidiana habitual (que es la misma que la topología del producto ). Esta topología vectorial de Hausdorff es también el (único) más fina topología vectorial sobre X . X tiene una topología vectorial única si y solo si dim X = 0 . Si dim X ≠ 0 , aunque X no tiene una topología vectorial única, sí tiene una topología vectorial de Hausdorff única .
- Si dim X = 0, entonces X = {0} tiene exactamente una topología vectorial: la topología trivial , que en este caso (y solo en este caso) es Hausdorff . La topología trivial en un espacio vectorial es Hausdorff si y solo si el espacio vectorial tiene dimensión 0 .
- Si dim X = 1, entonces X tiene dos topologías vectoriales: la topología euclidiana habitual y la topología trivial (que no es de Hausdorff).
- Desde el campo es en sí mismo un espacio vectorial topológico unidimensional sobre y dado que juega un papel importante en la definición de espacios vectoriales topológicos, esta dicotomía juega un papel importante en la definición de un conjunto absorbente y tiene consecuencias que repercuten en todo el análisis funcional .
Esquema de prueba |
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La prueba de esta dicotomía es sencilla, por lo que solo se proporciona un esquema con las observaciones importantes. Como siempre,se supone que tienen la topología euclidiana (normalizada). Sea X un espacio vectorial unidimensional sobre. Observa que sies una bola centrada en 0 y si S ⊆ X es un subconjunto que contiene una "secuencia ilimitada", entonces B ⋅ S = X , donde una "secuencia ilimitada" significa una secuencia de la forma ( s i x )∞ |
- Si dim X = n ≥ 2, entonces X tiene infinitas topologías vectoriales distintas:
- Algunas de estas topologías se describen ahora: Cada f funcional lineal en X , que es el espacio vectorial isomorfo a, induce una seminorma | f | : X →definido por | f | ( x ) = | f ( x ) | donde ker f = ker | f | . Cada seminorma induce un ( pseudometrizable localmente convexa ) topología de vector en X y seminormas con los núcleos distintos inducir topologías diferentes de modo que, en particular, seminormas en X que son inducidos por funcionales lineales con kernel distinta voluntad topologías vector induce distintos en X .
- Sin embargo, mientras que hay infinitamente muchos topologías de vector en X cuando dim X ≥ 2 , hay, hasta TVS-isomorfismo solamente 1 + dim X vector topologías en X . Por ejemplo, si n ≝ dim X = 2, entonces las topologías vectoriales en X consisten en la topología trivial, la topología euclidiana de Hausdorff, y luego las infinitas topologías vectoriales no triviales no euclidianas restantes en X son todas TVS-isomorfas a uno. otro.
Topologías no vectoriales
- Topologías discretas y cofinitas
Si X es un espacio vectorial no trivial (es decir, de dimensión distinta de cero), entonces la topología discreta en X (que siempre es metrizable ) no es una topología TVS porque a pesar de hacer que la adición y la negación sean continuas (lo que la convierte en un grupo topológico bajo además), no logra que la multiplicación escalar sea continua. La topología cofinite en X también (en el que un subconjunto es abierto si y sólo si su complemento es finito) es no una topología de TVS en X .
Mapas lineales
Un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos que es continuo en un punto es continuo en todo el dominio. Además, un operador lineal f es continuo si f ( X ) está acotado (como se define a continuación) para algún vecindario X de 0.
Un hiperplano en un espacio vectorial topológico X es denso o cerrado. Una f funcional lineal en un espacio vectorial topológico X tiene un núcleo denso o cerrado. Además, f es continua si y solo si su núcleo está cerrado .
Tipos
Dependiendo de la aplicación, generalmente se imponen restricciones adicionales en la estructura topológica del espacio. De hecho, varios resultados principales en el análisis funcional no se cumplen en general para los espacios vectoriales topológicos: el teorema del grafo cerrado , el teorema del mapeo abierto y el hecho de que el espacio dual del espacio separa puntos en el espacio.
A continuación se muestran algunos espacios vectoriales topológicos comunes, ordenados de forma aproximada por su simplicidad .
- Los espacios F son espacios vectoriales topológicos completos con una métrica invariante en la traducción. Estos incluyen L p espacios para todo p> 0 .
- Espacios vectoriales topológicos localmente convexos : aquí cada punto tiene una base local que consta de conjuntos convexos . Mediante una técnica conocida como funcionales de Minkowski se puede demostrar que un espacio es localmente convexo si y solo si su topología puede ser definida por una familia de seminormas. La convexidad local es el requisito mínimo para argumentos "geométricos" como el teorema de Hahn-Banach . Los espacios L p son localmente convexos (de hecho, espacios de Banach) para todo p ≥ 1 , pero no para 0 < p <1 .
- Espacios en barril : espacios localmente convexos donde se cumple el teorema de Banach-Steinhaus .
- Espacio bornológico : un espacio localmente convexo donde los operadores lineales continuos a cualquier espacio localmente convexo son exactamente los operadores lineales acotados .
- Espacio estereotipado : un espacio localmente convexo que satisface una variante de la condición de reflexividad , donde el espacio dual está dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados .
- Espacio Montel : un espacio barrenado donde todo conjunto cerrado y acotado es compacto
- Espacios de Fréchet : son espacios localmente convexos completos donde la topología proviene de una métrica invariante en la traducción, o lo que es lo mismo: de una familia contable de seminormas. Muchos espacios interesantes de funciones entran en esta clase. Un espacio F localmente convexo es un espacio de Fréchet.
- Los espacios LF son límites de los espacios Fréchet . Los espacios ILH son límites inversos de los espacios de Hilbert.
- Espacios nucleares : son espacios localmente convexos con la propiedad de que todo mapa acotado desde el espacio nuclear hasta un espacio arbitrario de Banach es un operador nuclear .
- Espacios normativos y espacios seminormados : espacios localmente convexos donde la topología puede ser descrita por una norma única o seminormal . En los espacios normativos, un operador lineal es continuo si y solo si está acotado.
- Espacios de Banach : Espacios vectoriales normativos completos . La mayor parte del análisis funcional está formulado para espacios de Banach.
- Espacios reflexivos de Banach : los espacios de Banach son naturalmente isomorfos a su doble dual (ver más abajo), lo que asegura que se puedan llevar a cabo algunos argumentos geométricos. Un ejemplo importante que no es reflexivo es L 1 , cuyo dual es L ∞ pero está estrictamente contenido en el dual de L ∞ .
- Espacios de Hilbert : estos tienen un producto interior ; aunque estos espacios pueden ser de dimensión infinita, la mayoría de los razonamientos geométricos familiares de las dimensiones finitas pueden llevarse a cabo en ellos. Estos incluyen espacios L 2 .
- Espacios euclidianos : o con la topología inducida por el producto interno estándar. Como se señaló en la sección anterior, para un n finito dado , solo hay un espacio vectorial topológico n- dimensional, hasta el isomorfismo. De esto se deduce que cualquier subespacio de dimensión finita de un TVS está cerrado. Una caracterización de la dimensionalidad finita es que un TVS de Hausdorff es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita (por lo tanto, isomorfo a algún espacio euclidiano).
Espacio dual
Cada espacio vectorial topológico tiene un espacio dual continuo: el conjunto X * de todos los funcionales lineales continuos, es decir, mapas lineales continuos desde el espacio hasta el campo base.. Una topología en el dual se puede definir como la topología más burda, de modo que el emparejamiento dual de cada evaluación de puntoes continuo. Esto convierte al dual en un espacio vectorial topológico localmente convexo. Esta topología se denomina topología débil * . Puede que esta no sea la única topología natural en el espacio dual; por ejemplo, el dual de un espacio normado tiene una norma natural definida en él. Sin embargo, es muy importante en aplicaciones debido a sus propiedades de compacidad (ver teorema de Banach-Alaoglu ). Precaución: Siempre que X sea un espacio convexo localmente no normable, entonces el mapa de emparejamientonunca es continuo, sin importar qué topología de espacio vectorial se elija en V * .
Propiedades
Para cualquier S ⊆ X de un TVS X , la convexa (resp. Equilibrada , disked , convexa cerrada, cerca del equilibrado, cerrado disked ) casco de S es el subconjunto más pequeño de X que tiene esta propiedad y contiene S .
El cierre (resp. Interior, casco convexo , casco equilibrado, casco con discos) de un conjunto S a veces se denota por cl S (resp. Int S , co S , bal S , cobal S ).
Barrios y decorados abiertos
- Propiedades de barrios y conjuntos abiertos
- Los subconjuntos convexos abiertos de un TVS X (no necesariamente de Hausdorff o localmente convexos) son exactamente aquellos que tienen la forma z + { x ∈ X : p ( x ) <1} = { x ∈ X : p ( x - z ) <1} para algunos z ∈ X y algunos positiva continua sublineal funcional p en X . [20]
- Si S ⊆ X y U es un subconjunto abierto de X entonces S + U es un conjunto abierto en X . [4]
- Si S ⊆ X tiene un interior no vacío, entonces S - S es una vecindad de 0. [4]
- Si K es un disco absorbente en un TVS X y si p ≝ p K es el funcional de Minkowski de K, entonces [21]
- Int K ⊆ { x ∈ X : p ( x ) <1} ⊆ K ⊆ { x ∈ X : p ( x ) ≤ 1} ⊆ cl K
- Se no asumido que K tenía propiedades topológicas ni que p era continua (lo que ocurre si y sólo si K es un barrio de 0).
- Todos los televisores están conectados [4] y conectados localmente . [22] Cualquier subconjunto abierto conectado de un TVS está conectado en forma de arco .
- Dejar que τ y upsilon dos topologías de vectores en X . Entonces 𝜏 ⊆ 𝜐 si y solo si siempre que una red x • = ( x i ) i ∈ I en X converge 0 en ( X , 𝜐) entonces x • → 0 en ( X , 𝜏) . [23]
- Deje 𝒩 ser una base entorno del origen de X , dejar que S ⊆ X , y dejar que x ∈ X . Entonces x ∈ cl S si y sólo si existe una red s • = ( s N ) N ∈ 𝒩 en S (indexado por 𝒩 ) de modo que s • → x en X . [24] [nota 6]
- Interior
- Si S tiene un interior no vacío, entonces Int S = Int (cl S ) y cl S = cl (Int S ) .
- Si R , S ⊆ X y S tiene un interior no vacío, entonces Int ( R ) + Int ( S ) ⊆ R + Int ( S ) ⊆ Int ( R + S ) .
- Si S es un disco de X que tiene un interior no vacío y luego 0 pertenece al interior del S . [25]
- Sin embargo, un subconjunto equilibrado cerrado de X con un interior no vacío puede no contener 0 en su interior. [25]
- Si S es un subconjunto equilibrado de X con un interior no vacío, entonces {0} ∪ Int S está equilibrado; en particular, si el interior de un conjunto equilibrado contiene el origen, entonces Int S está equilibrado. [4] [nota 7]
- Si x pertenece al interior de un conjunto convexo S ⊆ X e y ∈ cl X S , entonces el segmento de línea semiabierto [ x , y ) ≝ { tx + (1 - t ) y : 0 < t ≤ 1} ⊆ Int S . [26] Si N es una vecindad balanceada de 0 en X, entonces considerando intersecciones de la forma N ∩ x (que sonvecindarios simétricos convexosde 0 en el TVS real x ) se deduce que:
- Int N = [0, 1) Int N = [0, 1) N = (−1, 1) N = B 1 N , donde B 1 ≝ { a ∈ : | a | <1 .
- si x ∈ Int N y r ≝ sup { r > 0: [0, r ) x ⊆ Int N } entonces r > 1 , [0, r ) x ⊆ Int N , y si r ≠ ∞ entonces r x ∈ cl N ∖ Int N .
- Si C es convexa y 0 < t ≤ 1 , a continuación, t Int C + (1 - t ) cl C ⊆ Int C . [27]
Espacios ajenos a Hausdorff y el cierre del origen
- X es Hausdorff si y sólo si {0} es cerrado en X .
- cl X {0} = N, por lo que cada vecindario del origen contiene el cierre de {0} .
- cl X {0} es un subespacio vectorial de X y su topología de subespacio es la topología trivial (lo que hace que cl X {0} sea compacto).
- Cada subconjunto de cl X {0} es compacto y, por lo tanto, completo (ver nota al pie para una prueba). [prueba 2] En particular, si X no es Hausdorff, entonces existen subconjuntos completos compactos que no están cerrados. [28]
- S + cl X {0} ⊆ cl X S para cada subconjunto S ⊆ X . [prueba 3]
- Entonces, si S ⊆ X está abierto o cerrado en X, entonces S + cl X {0} = S (entonces S es un "tubo" con el lado vertical cl X {0} ).
- El mapa de cocientes q : X → X / cl X {0} es un mapa cerrado en un TV de Hausdorff. [29]
- Un subconjunto S de un TVS X está totalmente acotado si y solo si S + cl X {0} está totalmente acotado, [30] si y solo si cl X S está totalmente acotado, [31] [32] si y solo si su La imagen bajo el mapa de cociente canónico X → X / cl X ({0}) está totalmente acotada. [30]
- Si S ⊆ X es compacto, entonces cl X S = S + cl X {0} y este conjunto es compacto. Por tanto, el cierre de un conjunto compacto es compacto [nota 8] (es decir, todos los conjuntos compactos son relativamente compactos ). [33]
- Un subespacio vectorial de un TVS está acotado si y solo si está contenido en el cierre de {0} . [11]
- Si M es un subespacio vectorial de un TVS X entonces X / M es Hausdorff si y sólo si M es cerrado en X .
- Cada subespacio vectorial de X que es un complemento algebraico de cl X {0} es un complemento topológico de cl X {0} . Por lo tanto, si H es un complemento algebraico de cl X {0} en X, entonces el mapa de suma H × cl X {0} → X , definido por ( h , n ) ↦ h + n es un isomorfismo TVS, donde H es Hausdorff y cl X {0} tiene la topología indiscreta . [34] Además, si C es una terminación de Hausdorff de H, entonces C × cl X {0} es una terminación de X ≅ H × cl X {0} . [30]
Conjuntos cerrados y compactos
- Conjuntos compactos y totalmente acotados
- Un subconjunto de un TVS es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado . [28]
- Por lo tanto, en un TVS completo, un subconjunto cerrado y totalmente acotado es compacto. [28]
- Un subconjunto S de un TVS X está totalmente acotado si y solo si cl X S está totalmente acotado, [31] [32] si y solo si su imagen bajo el mapa de cociente canónico X → X / cl X ({0}) es totalmente acotado. [30]
- Todo conjunto relativamente compacto está totalmente limitado. [28] El cierre de un conjunto totalmente acotado está totalmente acotado. [28]
- La imagen de un conjunto totalmente acotado bajo un mapa uniformemente continuo (por ejemplo, un mapa lineal continuo) está totalmente acotado. [28]
- Si K es un subconjunto compacto de un TVS X y U es un subconjunto abierto de X que contiene K , entonces existe una vecindad N de 0 tal que K + N ⊆ U . [35]
- Si S es un subconjunto de un TVS X tal que cada secuencia en S tiene un punto de agrupamiento en S, entonces S está totalmente acotado. [30]
- Cierre y conjunto cerrado
- Si S ⊆ X y a es un escalar, entonces a cl ( S ) ⊆ cl ( aS ) ; si X es Hausdorff, a ≠ 0 , o S = ∅ entonces se cumple la igualdad: cl ( aS ) = a cl ( S ) .
- En particular, todo múltiplo escalar distinto de cero de un conjunto cerrado es cerrado.
- Si S ⊆ X y S + S ⊆ 2 cl S entonces cl S es convexo. [36]
- Si R , S ⊆ X entonces cl ( R ) + cl ( S ) ⊆ cl ( R + S ) y cl [cl ( R ) + cl ( S )] = cl ( R + S ) . [4] Por lo tanto, si R + S está cerrado, entonces también lo es cl ( R ) + cl ( S ) . [36]
- Si S ⊆ X y si R es un conjunto de escalares tales que ni cl S ni cl R contienen cero, entonces (cl R ) (cl S ) = cl ( RS ) . [36]
- El cierre de un subespacio vectorial de un TVS es un subespacio vectorial.
- Si S ⊆ X entonces cl S =( S + N ) , donde 𝒩 es cualquier base barrio en el origen para X . [37]
- Sin embargo, cl S ⊇ ∩ { U : S ⊆ U , U abierto en X } y es posible que esta contención sea adecuada [38] (por ejemplo, siy S son los números racionales).
- De ello se desprende que la cl T ⊆ T + T para todos los barrios T del origen de X . [39]
- Si X es un TVS real y S ⊆ X , entonces rS ⊆ cl S (observe que el lado izquierdo es independiente de la topología en X ); si S es una vecindad convexa del origen, entonces se cumple la igualdad.
- La suma de un conjunto compacto y un conjunto cerrado es cerrada. Sin embargo, es posible que la suma de dos subconjuntos cerrados no se cierre [4] (consulte esta nota al pie [nota 9] para ver ejemplos).
- Si M es un subespacio vectorial de X y N es un barrio cerrado de 0 en X tal que U ∩ N es cerrado en X entonces M es cerrado en X . [35]
- Cada subespacio vectorial de dimensión finita de un TVS de Hausdorff está cerrado. La suma de un subespacio vectorial cerrado y un subespacio vectorial de dimensión finita es cerrada. [4]
- Cascos cerrados
- En un espacio localmente convexo, los cascos convexos de conjuntos acotados están acotados. Esto no es cierto para los televisores en general. [11]
- El casco convexo cerrado de un conjunto es igual al cierre del casco convexo de ese conjunto (es decir, cl (co ( S )) ). [4]
- El casco cerrado equilibrado de un conjunto es igual al cierre del casco equilibrado de ese conjunto (es decir, cl (bal ( S )) ). [4]
- El casco de disco cerrado de un conjunto es igual al cierre del casco de disco de ese conjunto (es decir, cl (cobal ( S )) ). [4]
- Si R , S ⊆ X y el casco convexo cerrado de uno de los conjuntos S o R es compacto, entonces cl (co ( R )) + cl (co ( S )) = cl (co ( R + S )) . [4]
- Si R , S ⊆ X tienen cada uno un casco convexo cerrado que es compacto ( es decir, cl (co ( R )) y cl (co ( S )) son compactos) entonces cl (co ( R ∪ S )) = co [cl ( co ( R )) ∪ cl (co ( S ))] .
- Cascos y compacidad
- En un TVS general, el casco convexo cerrado de un conjunto compacto puede no ser compacto.
- El casco equilibrado de un conjunto compacto (o totalmente acotado ) tiene la misma propiedad. [4]
- El casco convexo de una unión finita de conjuntos convexos compactos es de nuevo compacto y convexo. [4]
Otras propiedades
- Escaso, en ninguna parte denso, y Baire
- Un disco en un TVS no es denso en ninguna parte si y solo si su cierre es una vecindad del origen. [7]
- Un subespacio vectorial de un TVS que está cerrado pero no abierto no es denso en ninguna parte . [7]
- Supongamos que X es un TVS que no lleva la topología indiscreta . Entonces X es un espacio de Baire si y solo si X no tiene un subconjunto denso equilibrado que no absorbe en ninguna parte. [7]
- Un TVS X es un espacio de Baire si y solo si X no es exiguo , lo que sucede si y solo si no existe un conjunto D denso en ninguna parte tal que X = nD . [7]
- Cada TVS localmente convexo no exiguo es un espacio de barril . [7]
- Hechos algebraicos importantes y conceptos erróneos comunes
- Si S ⊆ X entonces 2 S ⊆ S + S ; si S es convexo, entonces se cumple la igualdad.
- Para un ejemplo donde la igualdad no se cumple , sea x distinto de cero y establezca S = {- x , x } ; S = { x , 2 x } también funciona.
- Un subconjunto C es convexo si y solo si ( s + t ) C = sC + tC para todos los reales s y t positivos . [40]
- El casco de disco de un conjunto S ⊆ X es igual al casco convexo del casco equilibrado de S (es decir, co (bal ( S )) ).
- Sin embargo, en general co (bal ( S )) ≠ bal (co ( S )) .
- Si R , S ⊆ X y una es un escalar entonces co ( R + S ) = co R + co S y co ( aS ) = un co S . [4]
- Si R , S ⊆ X son conjuntos disjuntos no vacíos convexos y x ∉ R ∪ S , entonces S ∩ co ( R ∪ { x }) = ∅ o R ∩ co ( S ∪ { x }) = ∅ .
- En cualquier espacio vectorial no trivial X , existen dos subconjuntos convexos disjuntos no vacíos cuya unión es X .
- Otras propiedades
- Cada topología de TVS puede ser generada por una familia de F -seminormas. [41]
Propiedades conservadas por operadores de conjuntos
- El casco equilibrado de un conjunto compacto (resp. Totalmente acotado , abierto) tiene la misma propiedad. [4]
- La suma (Minkowski) de dos conjuntos compactos (respectivamente acotado, equilibrado, convexo) tiene la misma propiedad. [4] Pero no es necesario cerrar la suma de dos conjuntos cerrados.
- El casco convexo de un conjunto equilibrado (resp. Abierto) está equilibrado (resp. Abierto). Sin embargo, no es necesario cerrar el casco convexo de un conjunto cerrado. [4] Y el casco convexo de un conjunto acotado no necesita estar acotado.
En la siguiente tabla, el color de cada celda indica si una propiedad dada de subconjuntos de X (indicado por el nombre de la columna, por ejemplo, "convexo") se conserva bajo el operador de conjunto (indicado por el nombre de la fila, por ejemplo, "cierre"). Si en cada TVS, una propiedad se conserva bajo el operador de conjunto indicado, entonces esa celda se coloreará en verde; de lo contrario, será de color rojo.
Así, por ejemplo, dado que la unión de dos conjuntos absorbentes vuelve a absorber, la celda de la fila " R ∪ S " y la columna "Absorbente" se colorea de verde. Pero dado que la intersección arbitraria de conjuntos absorbentes no necesita ser absorbente, la celda de la fila "Intersecciones arbitrarias (de al menos 1 conjunto)" y la columna "Absorbente" está coloreada de rojo. Si una celda no está coloreada, esa información aún no se ha completado.
Operación | Propiedad de R , S y cualquier otro subconjunto de X que se considere | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Absorbente | Equilibrado | Convexo | Simétrico | Convexo equilibrado | Subespacio vectorial | Abierto | Barrio de 0 | Cerrado | Cerrado Equilibrado | Convexo cerrado | Cerrado Convexo Equilibrado | Barril | Subespacio vectorial cerrado | Totalmente acotado | Compacto | Convexo compacto | Relativamente compacto | Completo | Secuencialmente completo | Disco de banach | Encerrado | Bornívoro | Infrabornívoros | En ninguna parte densa (en X ) | Pobre | Separable | Pseudometrizable | Operación | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R ∪ S | R ∪ S | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∪ de aumentar la cadena no ∅ | ∪ de aumentar la cadena no ∅ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Uniones arbitrarias (de al menos 1 juego) | Uniones arbitrarias (de al menos 1 juego) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R ∩ S | R ∩ S | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∩ de cadena no ∅ decreciente | ∩ de cadena no ∅ decreciente | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Intersecciones arbitrarias (de al menos 1 conjunto) | Intersecciones arbitrarias (de al menos 1 conjunto) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R + S | R + S | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Múltiple escalar | Múltiple escalar | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Múltiplo escalar distinto de 0 | Múltiplo escalar distinto de 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Múltiplo escalar positivo | Múltiplo escalar positivo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Cierre | Cierre | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Interior | Interior | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Núcleo equilibrado | Núcleo equilibrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco equilibrado | Casco equilibrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco convexo | Casco convexo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco convexo equilibrado | Casco convexo equilibrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco equilibrado cerrado | Casco equilibrado cerrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco convexo cerrado | Casco convexo cerrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco equilibrado convexo cerrado | Casco equilibrado convexo cerrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tramo lineal | Tramo lineal | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Preimagen bajo un mapa lineal continuo | Preimagen bajo un mapa lineal continuo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Imagen debajo de un mapa lineal continuo | Imagen debajo de un mapa lineal continuo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Imagen bajo una sobreyección lineal continua | Imagen bajo una sobreyección lineal continua | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Subconjunto no vacío de R | Subconjunto no vacío de R | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Operación | Absorbente | Equilibrado | Convexo | Simétrico | Convexo equilibrado | Subespacio vectorial | Abierto | Barrio de 0 | Cerrado | Cerrado Equilibrado | Convexo cerrado | Cerrado Convexo Equilibrado | Barril | Subespacio vectorial cerrado | Totalmente acotado | Compacto | Convexo compacto | Relativamente compacto | Completo | Secuencialmente completo | Disco de banach | Encerrado | Bornívoro | Infrabornívoros | En ninguna parte densa (en X ) | Pobre | Separable | Pseudometrizable | Operación |
Ver también
- Espacio de Banach: espacio vectorial normalizado que está completo
- Espacio de Hilbert : generalización matemática del espacio euclidiano a dimensiones infinitas
- Espacio normado
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Grupo topológico : grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua
- Espacio vectorial - Estructura algebraica básica del álgebra lineal
Notas
- ^ Las propiedades topológicas, por supuesto, también requieren que X sea un TVS.
- ^ En particular, X es Hausdorff si y solo si el conjunto {0} es cerrado (es decir, X es un espacio T 1 ).
- ^ De hecho, esto es cierto para el grupo topológico, ya que la prueba no usa las multiplicaciones escalares.
- ^ También llamado espacio lineal métrico , lo que significa que es un espacio vectorial real o complejo junto con una métrica invariante en traslación para la cual la suma y la multiplicación escalar son continuas.
- ^ Una serie ∑∞
yo = 1 Se dice que x i converge en un TVS X si la secuencia de sumas parciales converge. - ^ Esto muestra, en particular, que a menudo será suficiente considerar redes indexadas por una base de vecindad del origen en lugar de redes en conjuntos dirigidos arbitrariamente.
- ^ Si el interior de un conjunto equilibrado no está vacío pero no contiene el origen (tales conjuntos existen incluso en y ) entonces el interior de este conjunto no puede ser un conjunto equilibrado.
- ^ En la topología general, el cierre de un subconjunto compacto de un espacio que no es de Hausdorff puede no ser compacto (por ejemplo, la topología de puntos particular en un conjunto infinito). Este resultado muestra que esto no sucede en TVS que no son de Hausdorff. S + cl X {0} es compacto debido a que es la imagen del conjunto compacto S × cl X {0} en la hoja de adición continua ⋅ + ⋅: X × X → X . Recordemos también que la suma de un conjunto compacto (es decir, S ) y un conjunto cerrado está cerrado para S + cl X {0} es cerrado en X .
- ^ En el, La suma de la y eje x y la gráfica de Y =1/X, que es el complemento del eje y , está abierto en En , la suma de y es un subconjunto denso contable de así que no encerrado en .
- ^ Esta condición se cumple sidenota el conjunto de todas las cadenas topológicas en ( X , 𝜏) .
- ^ Dado que cl X {0} tiene la topología trivial, también la tiene cada uno de sus subconjuntos, lo que los hace a todos compactos. Se sabe que un subconjunto de cualquier espacio uniforme es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado.
- ^ Si s ∈ S entonces s + cl X {0} = Cl X ( s + {0}) = cl X { s } ⊆ cl X S . Dado que S ⊆ S + cl X {0} ⊆ cl X S , si S es cerrado, entonces se mantiene la igualdad. Claramente, el complemento de cualquier conjunto S que satisfaga la igualdad S + cl X {0} = S también debe satisfacer esta igualdad.
Citas
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Referencias
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enlaces externos
- Medios relacionados con espacios vectoriales topológicos en Wikimedia Commons