Símbolo de Schläfli

El dodecaedro es un poliedro regular con el símbolo de Schläfli {5,3}, que tiene 3 pentágonos alrededor de cada vértice .

En geometría , el símbolo Schläfli es una notación de la forma que define politopos y teselados regulares . ${\ Displaystyle \ {p, q, r, ... \}}$

El símbolo de Schläfli lleva el nombre del siglo 19 el matemático suizo Ludwig Schläfli , ^[1]^{: 143} , que generaliza la geometría euclidiana a más de tres dimensiones y descubrió todos sus politopos regulares convexos, incluyendo los seis que se producen en cuatro dimensiones.

Definición

El símbolo de Schläfli es una descripción recursiva , ^[1]^{: 129 que} comienza con { p } para un polígono regular de lados p que es convexo . Por ejemplo, {3} es un triángulo equilátero , {4} es un cuadrado , {5} un pentágono regular convexo y así sucesivamente.

Los polígonos de estrellas regulares no son convexos y sus símbolos de Schläfli { ^p / _q } contienen fracciones irreducibles ^p / _q , donde p es el número de vértices y q es su número de giro . De manera equivalente, { ^p / _q } se crea a partir de los vértices de { p }, conectados cada q . Por ejemplo, { 5 ⁄ 2 } es un pentagrama ; { 5 ⁄ 1 } es un pentágono .

Un poliedro regular que tiene q caras de polígono de lados p regulares alrededor de cada vértice se representa mediante { p , q }. Por ejemplo, el cubo tiene 3 cuadrados alrededor de cada vértice y está representado por {4,3}.

Un politopo regular de 4 dimensiones , con r { p , q } celdas poliédricas regulares alrededor de cada borde está representado por { p , q , r }. Por ejemplo, un tesseract , {4,3,3}, tiene 3 cubos , {4,3}, alrededor de un borde.

En general, un politopo regular { p , q , r , ..., y , z } tiene z { p , q , r , ..., y } facetas alrededor de cada pico , donde un pico es un vértice en un poliedro , una arista en un politopo 4, una cara en un politopo 5, una celda en un politopo 6 y una cara ( n -3) en un politopo n .

Propiedades

Un politopo regular tiene una figura de vértice regular . La figura del vértice de un politopo regular { p , q , r , ..., y , z } es { q , r , ..., y , z }.

Los politopos regulares pueden tener elementos poligonales en estrella , como el pentagrama , con el símbolo { 5 ⁄ 2 }, representado por los vértices de un pentágono pero conectados alternativamente.

El símbolo de Schläfli puede representar un poliedro convexo finito , una teselación infinita del espacio euclidiano o una teselación infinita del espacio hiperbólico , dependiendo del defecto angular de la construcción. Un defecto de ángulo positivo permite que la figura del vértice se pliegue en una dimensión superior y vuelva a formarse un politopo. Un defecto de ángulo cero tesela el espacio de la misma dimensión que las facetas. Un defecto de ángulo negativo no puede existir en el espacio ordinario, pero puede construirse en el espacio hiperbólico.

Por lo general, se supone que una faceta o una figura de vértice es un politopo finito, pero a veces se puede considerar en sí mismo una teselación.

Un politopo regular también tiene un politopo dual , representado por los elementos del símbolo Schläfli en orden inverso. Un politopo regular auto-dual tendrá un símbolo simétrico de Schläfli.

Además de describir politopos euclidianos, los símbolos de Schläfli se pueden utilizar para describir politopos esféricos o panales esféricos. ^[1]^{: 138}

Historia y variaciones

El trabajo de Schläfli fue casi desconocido durante su vida, y su notación para describir politopos fue redescubierta de forma independiente por varios otros. En particular, Thorold Gosset redescubrió el símbolo Schläfli que escribió como | p | q | r | ... | z | en lugar de hacerlo con corchetes y comas, como hizo Schläfli. ^[1]^{: 144}

La forma de Gosset tiene una mayor simetría, por lo que el número de dimensiones es el número de barras verticales, y el símbolo incluye exactamente los sub-símbolos para la figura de faceta y vértice. Gosset consideró | p como operador, que se puede aplicar a | q | ... | z | para producir un politopo con caras p -gonales cuya figura de vértice es | q | ... | z |.

Casos

Grupos de simetría

Los símbolos de Schläfli están estrechamente relacionados con los grupos de simetría de reflexión (finitos) , que corresponden precisamente a los grupos finitos de Coxeter y se especifican con los mismos índices, pero con corchetes en su lugar [ p , q , r , ...]. Estos grupos suelen ser nombrados por los politopos regulares que generan. Por ejemplo, [3,3] es el grupo de Coxeter para simetría tetraédrica reflectante , [3,4] es simetría octaédrica reflectante y [3,5] es simetría icosaédrica reflectante .

Polígonos regulares (plano)

Polígonos regulares convexos y en estrella con 3 a 12 vértices etiquetados con sus símbolos de Schläfli

El símbolo de Schläfli de un polígono regular (convexo) con p aristas es { p }. Por ejemplo, un pentágono regular está representado por {5}.

Para polígonos de estrellas (no convexos) , se usa la notación constructiva { p ⁄ q }, donde p es el número de vértices y q −1 es el número de vértices omitidos al dibujar cada borde de la estrella. Por ejemplo, { 5 ⁄ 2 } representa el pentagrama .

Poliedros regulares (3 dimensiones)

El símbolo de Schläfli de un poliedro regular es { p , q } si sus caras son p -gones, y cada vértice está rodeado por q caras (la figura del vértice es un q -gon).

Por ejemplo, {5,3} es el dodecaedro regular . Tiene caras pentagonales (5 aristas) y 3 pentágonos alrededor de cada vértice.

Vea los 5 sólidos platónicos convexos , los 4 poliedros no convexos de Kepler-Poinsot .

Topológicamente, una teselación bidimensional regular puede considerarse similar a un poliedro (tridimensional), pero tal que el defecto angular sea cero. Por lo tanto, los símbolos de Schläfli también se pueden definir para teselaciones regulares de espacio euclidiano o hiperbólico de una manera similar a los poliedros. La analogía es válida para dimensiones superiores.

Por ejemplo, el mosaico hexagonal está representado por {6,3}.

4 politopos regulares (4 dimensiones)

El símbolo de Schläfli de un 4-politopo regular tiene la forma { p , q , r }. Sus caras (bidimensionales) son p -gones regulares ({ p }), las celdas son poliedros regulares de tipo { p , q }, las figuras de vértice son poliedros regulares de tipo { q , r } y las figuras de borde son r -gons regulares (tipo { r }).

Vea los seis politopos convexos regulares y los 10 estrellas regulares 4-politopos .

Por ejemplo, la celda de 120 está representada por {5,3,3}. Está formado por células dodecaedro {5,3} y tiene 3 células alrededor de cada borde.

Hay una teselación regular de 3 espacios euclidianos: el panal cúbico , con un símbolo de Schläfli de {4,3,4}, hecho de celdas cúbicas y 4 cubos alrededor de cada borde.

También hay 4 teselaciones hiperbólicas compactas regulares que incluyen {5,3,4}, el pequeño panal de abejas dodecaédrico hiperbólico , que llena el espacio con células dodecaedro .

N -politopos regulares (dimensiones superiores)

Para politopos regulares de dimensiones superiores , el símbolo de Schläfli se define recursivamente como { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n - 1} } si las facetas tienen el símbolo de Schläfli { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n - 2} } y las figuras de vértice tienen el símbolo de Schläfli { p ₂ , p ₃ , ..., p _{n - 1} }.

Una figura de vértice de una faceta de un politopo y una faceta de una figura de vértice del mismo politopo son iguales: { p ₂ , p ₃ , ..., p _{n - 2} }.

Solo hay 3 politopos regulares en 5 dimensiones y superiores: el simplex , {3,3,3, ..., 3}; el politopo cruzado , {3,3, ..., 3,4}; y el hipercubo , {4,3,3, ..., 3}. No hay politopos regulares no convexos por encima de 4 dimensiones.

Politopos duales

Si un politopo de dimensión n ≥ 2 tiene el símbolo de Schläfli { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n - 1} } entonces su dual tiene el símbolo de Schläfli { p _{n - 1} , ..., p ₂ , p ₁ }.

Si la secuencia es palindrómica , es decir, la misma hacia adelante y hacia atrás, el politopo es auto-dual . Cada politopo regular en 2 dimensiones (polígono) es auto-dual.

Politopos prismáticos

Los politopos prismáticos uniformes se pueden definir y nombrar como un producto cartesiano (con el operador "×") de politopos regulares de dimensiones inferiores.

En 0D, un punto está representado por (). Su diagrama de Coxeter está vacío. Su simetría de notación Coxeter es] [.
En 1D, un segmento de línea está representado por {}. Su diagrama de Coxeter es. Su simetría es [].
En 2D, un rectángulo se representa como {} × {}. Su diagrama de Coxeter es. Su simetría es [2].
En 3D, un prisma p -gonal se representa como {} × { p }. Su diagrama de Coxeter es. Su simetría es [2, p ].
En 4D, un prisma { p , q } -édrico uniforme se representa como {} × { p , q }. Su diagrama de Coxeter es. Su simetría es [2, p , q ].
En 4D, un duoprisma p - q uniforme se representa como { p } × { q }. Su diagrama de Coxeter es. Su simetría es [ p , 2, q ].

Los duales prismáticos o bipirámides se pueden representar como símbolos compuestos, pero con el operador de suma "+".

En 2D, un rombo se representa como {} + {}. Su diagrama de Coxeter es. Su simetría es [2].
En 3D, una bipirámide p -gonal se representa como {} + { p }. Su diagrama de Coxeter es. Su simetría es [2, p ].
En 4D, una bipirámide { p , q } -édrica se representa como {} + { p , q }. Su diagrama de Coxeter es. Su simetría es [ p , q ].
En 4D, una p - q duopyramid se representa como { p } + { q }. Su diagrama de Coxeter es. Su simetría es [ p , 2, q ].

Los politopos piramidales que contienen vértices desplazados ortogonalmente se pueden representar mediante un operador de combinación, "∨". Cada par de vértices entre figuras unidas está conectado por aristas.

En 2D, un triángulo isósceles se puede representar como () ∨ {} = () ∨ [() ∨ ()].

En 3D:

Un difenoide digonal se puede representar como {} ∨ {} = [() ∨ ()] ∨ [() ∨ ()].
Una pirámide p-gonal se representa como () ∨ { p }.

En 4D:

Una pirámide pq-hedral se representa como () ∨ { p , q }.
Una celda de 5 se representa como () ∨ [() ∨ {3}] o [() ∨ ()] ∨ {3} = {} ∨ {3}.
Una pirámide piramidal cuadrada se representa como () ∨ [() ∨ {4}] o [() ∨ ()] ∨ {4} = {} ∨ {4}.

Al mezclar operadores, el orden de las operaciones de mayor a menor es ×, +, ∨.

Los politopos axiales que contienen vértices en hiperplanos desplazados paralelos se pueden representar mediante || operador. Un prisma uniforme es { n } || { n } y antiprisma { n } || r { n }.

Ampliación de los símbolos de Schläfli

Polígonos y mosaicos circulares

Un polígono regular truncado se dobla en lados. Un polígono regular con lados pares se puede dividir por la mitad. Un 2n-gon regular de lados pares alterado genera un compuesto de figura de estrella , 2 {n}.

Formulario	Símbolo de Schläfli	Simetría	Diagrama de Coxeter
Regular	{pag}	[pag]		Hexágono
Truncado	t {p} = {2p}	[[p]] = [2p]	=	Hexágono truncado (Dodecágono)	=
Alterado y holosnubbed	a {2p} = β {p}	[2p]	=	Hexágono alterado (Hexagrama)	=
Mitad y desairado	h {2p} = s {p} = {p}	[1 ⁺ , 2p] = [p]	= =	Medio hexágono (triángulo)	= =

Poliedros y teselaciones

Coxeter expandió su uso del símbolo Schläfli a poliedros cuasirregulares al agregar una dimensión vertical al símbolo. Fue un punto de partida hacia el diagrama de Coxeter más general . Norman Johnson simplificó la notación para símbolos verticales con un prefijo r . La notación t es la más general y corresponde directamente a los anillos del diagrama de Coxeter. Los símbolos tienen una alternancia correspondiente , reemplazando anillos con agujeros en un diagrama de Coxeter y el prefijo h representa la mitad, construcción limitada por el requisito de que las ramas vecinas deben tener un orden uniforme y corta el orden de simetría a la mitad. Un operador relacionado, a para alterado , se muestra con dos agujeros anidados, representa un poliedro compuesto con ambas mitades alternadas, conservando la simetría completa original. Un desaire es la mitad de un truncamiento, y un holosnub son las dos mitades de un truncamiento alterno.

Formulario	Símbolos de Schläfli			Simetría
Regular	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	{p, q}	t ₀ {p, q}	[p, q] o [(p, q, 2)]	Cubo
Truncado	${\ Displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	t {p, q}	t _0,1 {p, q}		Cubo truncado
Bitruncation (doble truncado)	${\ Displaystyle t {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}$	2t {p, q}	t _1,2 {p, q}		Octaedro truncado
Rectificado ( cuasirregular )	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	r {p, q}	t ₁ {p, q}		Cuboctaedro
Birectificación (regular dual)	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	2r {p, q}	t ₂ {p, q}		Octaedro
Cantelado ( rectificado rectificado )	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	rr {p, q}	t _0,2 {p, q}		Rombicuboctaedro
Cantitruncado (Truncado rectificado)	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	tr {p, q}	t _0,1,2 {p, q}		Cuboctaedro truncado

Alternaciones, cuartos y desaires

Las alternancias tienen la mitad de la simetría de los grupos de Coxeter y están representadas por anillos sin relleno. Hay dos opciones posibles en las que se toman la mitad de los vértices, pero el símbolo no implica cuál. Las formas de cuartos se muestran aquí con un + dentro de un anillo hueco para implicar que son dos alternancias independientes.

Alternancias
Formulario	Símbolos de Schläfli			Simetría	Diagrama de Coxeter
Alternado (mitad) regular	$h{\begin{Bmatrix}2p,q\end{Bmatrix}}$	h {2p, q}	ht ₀ {2p, q}	[1 ⁺ , 2p, q]	=	Demicubo ( tetraedro )
Desaire regular	$s{\begin{Bmatrix}p,2q\end{Bmatrix}}$	s {p, 2q}	ht _0,1 {p, 2q}	[p ⁺ , 2q]
Snub doble regular	$s{\begin{Bmatrix}q,2p\end{Bmatrix}}$	s {q, 2p}	ht _1,2 {2p, q}	[2p, q ⁺ ]		Octaedro chato ( icosaedro )
Alternado rectificado (pyq son pares)	$h{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hr {p, q}	ht ₁ {p, q}	[p, 1 ⁺ , q]
Alternado rectificado rectificado (pyq son pares)	$hr{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hrr {p, q}	ht _0,2 {p, q}	[(p, q, 2 ⁺ )]
En cuartos (pyq son pares)	$q{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	q {p, q}	ht ₀ ht ₂ {p, q}	[1 ⁺ , p, q, 1 ⁺ ]
Snub rectificado Snub cuasirregular	$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	sr {p, q}	ht _0,1,2 {p, q}	[p, q] ⁺		Cuboctaedro chato (cubo chato)

Alterado y holosnubbed

Las formas alteradas y holosnubuladas tienen la simetría completa del grupo Coxeter y están representadas por anillos dobles sin relleno, pero pueden representarse como compuestos.

Alterado y holosnubbed
Formulario	Símbolos de Schläfli			Simetría	Diagrama de Coxeter		Ejemplo, {4,3}
Regular alterado	$a{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	a {p, q}	en ₀ {p, q}	[p, q]	= ∪			Octaedro estrellado
Holosnub dual regular	$ß {q, p}$	ß {q, p}	en _0,1 {q, p}	[p, q]				Compuesto de dos icosaedros

ß , similar a la letra griega beta (β), es la letra del alfabeto alemán eszett .

Polychora y panales

Familias lineales
Formulario	Símbolo de Schläfli
Regular	${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	{p, q, r}	t ₀ {p, q, r}	Tesseract
Truncado	$t{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	t {p, q, r}	t _0,1 {p, q, r}	Tesseract truncado
Rectificado	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	r {p, q, r}	t ₁ {p, q, r}	Tesseract rectificado	=
Bitruncado		2t {p, q, r}	t _1,2 {p, q, r}	Tesseract bitruncado
Birectificado (rectificado dual)	$\left\{{\begin{array}{l}q,p\\r\end{array}}\right\}$	2r {p, q, r} = r {r, q, p}	t ₂ {p, q, r}	16 celdas rectificadas	=
Tritruncado (doble truncado)	$t{\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3t {p, q, r} = t {r, q, p}	t _2,3 {p, q, r}	Tesseract bitruncado
Trirectificado (doble)	${\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3r {p, q, r} = {r, q, p}	t ₃ {p, q, r} = {r, q, p}	16 celdas
Cantelado	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	rr {p, q, r}	t _0,2 {p, q, r}	Tesseract cantelado	=
Cantitruncado	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	tr {p, q, r}	t _0,1,2 {p, q, r}	Tesseract cantitruncado	=
Runcinated ( expandido )	$e_{3}{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	e ₃ {p, q, r}	t _0,3 {p, q, r}	Tesseract runcinado
Runcitruncated			t _0,1,3 {p, q, r}	Runcitruncado tesseract
Omnitruncado			t _0,1,2,3 {p, q, r}	Tesseract omnitruncado

Alternaciones, cuartos y desaires

Alternancias
Formulario	Símbolo de Schläfli
Alternancias
La mitad p incluso	$h{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	h {p, q, r}	ht ₀ {p, q, r}	16 celdas
Cuarto p y r pares	$q{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	q {p, q, r}	ht ₀ ht ₃ {p, q, r}
Desaire q incluso	$s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	s {p, q, r}	ht _0,1 {p, q, r}	Snub 24 celdas
Desaire rectificado r incluso	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	sr {p, q, r}	ht _0,1,2 {p, q, r}	Snub 24 celdas	=
Duoprisma alterno		s {p} s {q}	ht _0,1,2,3 {p, 2, q}	Gran duoantiprisma

Familias bifurcadas

Familias bifurcadas
Formulario	Símbolo de Schläfli extendido
Cuasirregular	$\left\{p,{q \atop q}\right\}$	{p, q ^1,1 }	t ₀ {p, q ^1,1 }	16 celdas
Truncado	$t\left\{p,{q \atop q}\right\}$	t {p, q ^1,1 }	t _0,1 {p, q ^1,1 }	16 celdas truncadas
Rectificado	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	r {p, q ^1,1 }	t ₁ {p, q ^1,1 }	24 celdas
Cantelado	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	rr {p, q ^1,1 }	t _0,2,3 {p, q ^1,1 }	16 celdas canteladas
Cantitruncado	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	tr {p, q ^1,1 }	t _0,1,2,3 {p, q ^1,1 }	Cantitruncado de 16 celdas
Desaire rectificado	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	sr {p, q ^1,1 }	ht _0,1,2,3 {p, q ^1,1 }	Snub 24 celdas
Cuasirregular	$\left\{r,{p \atop q}\right\}$	{r, / q \, p}	t ₀ {r, / q \, p}
Truncado	$t\left\{r,{p \atop q}\right\}$	t {r, / q \, p}	t _0,1 {r, / q \, p}
Rectificado	$\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	r {r, / q \, p}	t ₁ {r, / q \, p}
Cantelado	$r\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	rr {r, / q \, p}	t _0,2,3 {r, / q \, p}
Cantitruncado	$t\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	tr {r, / q \, p}	t _0,1,2,3 {r, / q \, p}
Desaire rectificado	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\r\end{array}}\right\}$	sr {p, / q, \ r}	ht _0,1,2,3 {p, / q \, r}

Teselaciones

Esférico

{2, n}
s {2,2n}
???

t {2, n}
{} + {n}

Regular

{2, ∞}
{3,6}

{4,4}
{6,3}

Semi-regular

s {4,4}
e {3,6}
sr {2, ∞}
sr {6,3}
rr {6,3}

r {6,3}
t {6,3}
t {2, ∞}
tr {6,3}
tr {4,4}

Hiperbólico

sr {5,4}
sr {6,4}
sr {7,4}
sr {8,4}
sr {∞, 4}
s {5,4}
sr {6,5}
s {6,4}
sr {8,6}
sr {7,7}
s {8,4}
s {4,6}
sr {∞, ∞}
sr {7,3}
sr {8,3}
sr {∞, 3}

s {3,8}
{3,7}
{3,8}
{3, ∞}
h {8,3}
h {6,4}
q {4,6}
rr {7,3}
rr {8,3}
rr {∞, 3}
h 2 {8,3}
r {7,3}
r {8,3}
t {7,3}
t {8,3}
r {∞, 3}

t {∞, 3}
rr {5,4}
rr {6,4}
rr {7,4}
rr {8,4}
rr {∞, 4}
{4,5}
{4,6}
{4,7}
{4,8}
{4, ∞}
r {5,4}
r {6,4}
tr {6,3}
tr {7,3}
???

tr {8,3}
???
tr {∞, 3}
r {7,4}
r {8,4}
tr {5,4}
???
tr {6,4}
tr {7,4}
tr {8,4}
tr {∞, 4}
t {5,4}
tr {6,5}
t {6,4}
tr {8,6}
t {7,4}

t {8,4}
t {∞, 4}
r {∞, 4}
{5,4}
{5,5}
{5,6}
{5, ∞}
rr {6,5}
r {6,5}
t {4,5}
t {5,5}
t {6,5}
r {∞, 5}
{6,4}
{6,5}
{6,6}

{6,8}
rr {8,6}
r {8,6}
t {4,6}
t {5,6}
t {6,6}
t {8,6}
{7,3}
{7,4}
{7,7}
t {3,7}
t {4,7}
t {7,7}
{8,3}
{8,4}
{8,6}
{8,8}

t {6,8}
t {3,8}
t {8,8}
{∞, 3}
{∞, 4}
{∞, 5}
{∞, ∞}
t {3, ∞}
t {4, ∞}

Referencias

↑ a b c d Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3ª ed.). Nueva York: Dover.

Fuentes

Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973) [1948]. Politopos regulares (3ª ed.). Publicaciones de Dover. págs. 14 , 69, 149. ISBN 0-486-61480-8. OCLC 798003 . Politopos regulares.
Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C .; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Caleidoscopios: Escritos seleccionados de HSM Coxeter . Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Documento 22) págs. 251-278 Coxeter, HSM (1940). "Politopos regulares y semi regulares I". Matemáticas. Zeit . 46 : 380–407. doi : 10.1007 / BF01181449 . Zbl 0022.38305 . MR 2,10
- (Documento 23) págs. 279-312 - (1985). "Politopos II Regulares y Semirregulares". Matemáticas. Zeit . 188 (4): 559–591. doi : 10.1007 / BF01161657 . Zbl 0547.52005 .
- (Documento 24) págs. 313–358 - (1988). "Politopos III Regular y Semi-Regular". Matemáticas. Zeit . 200 (1): 3–45. doi : 10.1007 / BF01161745 . Zbl 0633.52006 .

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Símbolo de Schläfli" . MathWorld . Consultado el 28 de diciembre de 2019 .
Starck, Maurice (13 de abril de 2012). "Nombres y notaciones poliédricas" . Un paseo por el mundo de los poliedros . Consultado el 28 de diciembre de 2019 .

[:0-1] Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3ª ed.). Nueva York: Dover.

[1]