En álgebra, el teorema de Schlessinger es un teorema en la teoría de la deformación introducido por Schlessinger ( 1968 ) que da condiciones para que un funtor de anillos locales artinianos sea pro-representable, refinando un teorema anterior de Grothendieck .
Λ es un anillo local noetheriano completo con campo residual k , y C es la categoría de Λ-álgebras artinianas locales (lo que significa en particular que, como módulos sobre Λ, son finitamente generados y artinianos) con campo residual k .
Una pequeña extensión en C es un morfismo Y → Z en C que es sobreyectivo con núcleo un espacio vectorial unidimensional sobre k .
Un funtor se llama representable si es de la forma h X donde h X ( Y )=hom( X , Y ) para alguna X , y se llama pro-representable si es de la forma Y →lim hom( X i , Y ) para un límite directo filtrado sobre i en algún conjunto ordenado filtrado.
Un morfismo de funtores F → G de C a conjuntos se llama suave si cada vez que Y → Z es un epimorfismo de C , la aplicación de F ( Y ) a F ( Z ) × G ( Z ) G ( Y ) es sobreyectiva. Esta definición está estrechamente relacionada con la noción de un morfismo de esquemas formalmente suave . Si además la aplicación entre los espacios tangentes de F y G es un isomorfismo, entonces F se llamacasco de G. _
Grothendieck (1960 , proposición 3.1) mostró que un funtor de la categoría C de las álgebras artinianas a conjuntos es pro-representable si y solo si conserva todos los límites finitos. Esta condición es equivalente a pedir que el funtor conserve los pullbacks y el objeto final. De hecho, el teorema de Grothendieck se aplica no solo a la categoría C de las álgebras artinianas, sino a cualquier categoría con límites finitos cuyos objetos sean artinianos.