En geometría algebraica , un morfismoentre esquemas se dice que es suave si
- (i) es localmente de presentación finita
- (ii) es plano , y
- (iii) para cada punto geométrico la fibra es regular.
(iii) significa que cada fibra geométrica de f es una variedad no singular (si está separada). Así, intuitivamente hablando, un morfismo suave da una familia plana de variedades no singulares.
Si S es el espectro de una algebraicamente cerrado campo y f es de tipo finito, a continuación, se recupera la definición de variedad no singular.
Definiciones equivalentes
Hay muchas definiciones equivalentes de morfismo suave. DejarSer localmente de presentación finita. Entonces los siguientes son equivalentes.
- f es suave.
- f es formalmente suave (ver más abajo).
- f es plano y el haz de diferenciales relativos está localmente libre de rango igual a la dimensión relativa de .
- Para cualquier , existe un barrio de xy un barrio de tal que y el ideal generado por los m -por- m menores dees B .
- Localmente, f factores endonde g es étale.
- Localmente, f factores endonde g es étale.
Un morfismo de tipo finito es étale si y solo si es suave y cuasi-finito .
Un morfismo suave es estable bajo cambio de base y composición. Un morfismo suave es localmente de presentación finita.
Un morfismo suave es universalmente localmente acíclico .
Ejemplos de
Se supone que los morfismos suaves corresponden geométricamente a inmersiones suaves en geometría diferencial; es decir, son fibraciones suaves localmente triviales sobre algún espacio base (según el teorema de Ehresmann).
Morfismo suave hasta un punto
Dejar ser el morfismo de los esquemas
Es suave debido a la condición jacobiana: la matriz jacobiana
desaparece en los puntos que tiene una intersección vacía con el polinomio, ya que
que son ambos distintos de cero.
Fibraciones triviales
Dado un esquema suave el morfismo de proyección
es suave.
Paquetes de vectores
Cada paquete de vectores sobre un esquema hay un morfismo suave. Por ejemplo, se puede demostrar que el paquete de vectores asociado de encima es el espacio proyectivo ponderado menos un punto
enviando
Observe que los paquetes de suma directa se puede construir utilizando el producto de fibra
Extensiones de campo separables
Recuerde que una extensión de campo se llama iff separable dada una presentación
tenemos eso . Podemos reinterpretar esta definición en términos de diferenciales de Kähler de la siguiente manera: la extensión del campo es separable si
Observe que esto incluye todos los campos perfectos: campos finitos y campos de característica 0.
No ejemplos
Variedades singulares
Si consideramos del álgebra subyacente para una variedad proyectiva , llamado cono afín de , entonces el punto en el origen es siempre singular. Por ejemplo, considere el cono afín de una quíntica-pliegue dado por
Entonces la matriz jacobiana viene dada por
que se desvanece en el origen, por lo que el cono es singular. Las hipersuperficies afines como estas son populares en la teoría de la singularidad debido a su álgebra relativamente simple pero a sus ricas estructuras subyacentes.
Otro ejemplo de una variedad singular es el cono proyectivo de una variedad suave: dada una variedad proyectiva suave su cono proyectivo es la unión de todas las líneas en intersección . Por ejemplo, el cono proyectivo de los puntos
es el esquema
Si miramos en el grafica este es el esquema
y proyectarlo hacia la línea afín , esta es una familia de cuatro puntos degenerando en el origen. La no singularidad de este esquema también se puede verificar utilizando la condición jacobiana.
Familias en Degeneración
Considere la familia plana
Entonces las fibras son todas lisas excepto por el punto en el origen. Dado que la suavidad es estable bajo cambio de base, esta familia no es suave.
Extensiones de campo no separables
Por ejemplo, el campo no es separable, por lo tanto, el morfismo asociado de los esquemas no es uniforme. Si miramos el polinomio mínimo de la extensión del campo,
luego , por lo tanto, los diferenciales de Kähler serán distintos de cero.
Morfismo formalmente suave
Se puede definir la suavidad sin hacer referencia a la geometría. Decimos que un esquema S X es formalmente suave si para cualquier esquema S afín T y un subesquemade T dada por un ideal nilpotente, es sobreyectiva donde escribimos . Entonces, un morfismo localmente de tipo finito es suave si y solo si es formalmente suave.
En la definición de "formalmente suave", si reemplazamos sobreyectiva por "biyectiva" (resp. "Inyectiva"), entonces obtenemos la definición de formalmente étale (resp. Formalmente sin ramificar ).
Cambio de base suave
Sea S un esquema y denotar la imagen del mapa de estructura . El teorema del cambio de base suave establece lo siguiente: seaser un morfismo cuasi-compacto , un morfismo suave y una gavilla de torsión en . Si por cada en , es inyectivo, entonces el morfismo de cambio de base es un isomorfismo.
Ver también
Referencias
- JS Milne (2012). " Conferencias sobre Étale Cohomology "
- JS Milne. Étale cohomology , volumen 33 de Princeton Mathematical Series. Prensa de la Universidad de Princeton, Princeton, Nueva Jersey, 1980.