En matemáticas , un módulo generado de forma finita es un módulo que tiene un grupo electrógeno finito . Un módulo finitamente generado sobre un anillo R también puede ser llamado un finito R -módulo , finita sobre R , [1] o una módulo de tipo finito .
Los conceptos relacionados incluyen módulos finamente cogenerados , módulos finamente presentados , módulos finamente relacionados y módulos coherentes, todos los cuales se definen a continuación. Sobre un anillo noetheriano coinciden los conceptos de módulos generados finitamente, presentados finitamente y coherentes.
Un módulo generado de forma finita sobre un campo es simplemente un espacio vectorial de dimensión finita , y un módulo generado de forma finita sobre los números enteros es simplemente un grupo abeliano generado de forma finita .
Definición
El módulo R izquierdo M se genera finitamente si existe un 1 , un 2 , ..., un n en M tal que para cualquier x en M , existe r 1 , r 2 , ..., r n en R con x = r 1 una 1 + r 2 una 2 + ... + r norte una n .
El conjunto { a 1 , a 2 , ..., a n } se conoce como un conjunto generador de M en este caso. Un finita necesidad grupo electrógeno no sea una base, ya que no tiene que ser linealmente independientes sobre R . Lo que es cierto es: M se genera finitamente si y solo si hay un mapa lineal de R sobreyectiva :
para algunos n ( M es un cociente de un módulo libre de rango finito).
Si un conjunto S genera un módulo que se genera de forma finita, entonces hay un conjunto generador finito que se incluye en S , ya que solo se necesitan una cantidad finita de elementos en S para expresar cualquier conjunto generador finito, y estos elementos finitos forman un conjunto generador . Sin embargo, puede ocurrir que S no contenga ningún conjunto generador finito de cardinalidad mínima . Por ejemplo, {1} y el conjunto de números primos son conjuntos generadores de Visto como -módulo, pero un grupo electrógeno formado a partir de números primos tiene al menos dos elementos.
En el caso en el que el módulo M es un espacio vectorial sobre un campo R , y el grupo electrógeno es linealmente independiente , n está bien definido y se conoce como la dimensión de M ( bien definido significa que cualquier grupo electrógeno linealmente independiente tiene n elementos: este es el teorema de dimensión para espacios vectoriales ).
Cualquier módulo es la unión del conjunto dirigido de sus submódulos generados finitamente.
Un módulo M es de generación finita si y sólo si cualquier aumento de la cadena de M i de submódulos con unión M estabiliza: es decir, hay una cierta i tal que M i = M . Este hecho con el lema de Zorn implica que cada módulo generado finitamente distinto de cero admite submódulos máximos . Si cualquier cadena creciente de submódulos se estabiliza (es decir, cualquier submódulo se genera de forma finita), entonces el módulo M se denomina módulo Noetheriano .
Ejemplos de
- Si un módulo es generado por un elemento, se denomina módulo cíclico .
- Sea R un dominio integral con K su campo de fracciones. Entonces cada finitamente generado R -submodule I de K es un ideales fraccional : es decir, hay una cierta distinto de cero r en R tal que rI está contenido en R . De hecho, uno puede tomar r ser el producto de los denominadores de los generadores de I . Si R es noetheriano, entonces todo ideal fraccionario surge de esta manera.
- Los módulos finamente generados sobre el anillo de números enteros Z coinciden con los grupos abelianos finamente generados . Estos están completamente clasificados por el teorema de la estructura , tomando Z como el dominio ideal principal.
- Los módulos finamente generados (digamos a la izquierda) sobre un anillo de división son precisamente espacios vectoriales de dimensión finita (sobre el anillo de división).
Algunos hechos
Cada imagen homomórfica de un módulo finitamente generado se genera finitamente. En general, los submódulos de módulos generados de forma finita no necesitan ser generados de forma finita. Como ejemplo, considere el anillo R = Z [ X 1 , X 2 , ...] de todos los polinomios en innumerables variables. R en sí es un módulo R generado de forma finita (con {1} como grupo electrógeno). Considere el submódulo K que consta de todos esos polinomios con término constante cero. Dado que cada polinomio contiene sólo un número finito de términos cuyos coeficientes no son cero, el módulo R K no se genera de forma finita.
En general, se dice que un módulo es Noetheriano si cada submódulo se genera de forma finita. Un módulo generado de forma finita sobre un anillo noetheriano es un módulo noetheriano (y de hecho esta propiedad caracteriza a los anillos noetherianos): un módulo sobre un anillo noetheriano se genera finitamente si y solo si es un módulo noetheriano. Esto se parece, pero no es exactamente el teorema de la base de Hilbert , que establece que el anillo polinomial R [ X ] sobre un anillo noetheriano R es noetheriano. Ambos hechos implican que un álgebra conmutativa generada finitamente sobre un anillo noetheriano es nuevamente un anillo noetheriano.
De manera más general, un álgebra (por ejemplo, un anillo) que es un módulo generado de forma finita es un álgebra de generación finita . Por el contrario, si un álgebra generada finitamente es integral (sobre el anillo de coeficientes), entonces es un módulo generado finitamente. (Consulte el elemento integral para obtener más información).
Sea 0 → M ′ → M → M ′ ′ → 0 una secuencia exacta de módulos. Entonces M se genera finitamente si M ′ , M ′ ′ se generan finitamente. Hay algunas conversaciones parciales a esto. Si M se genera finitamente y M '' se presenta finitamente (que es más fuerte que el generado finitamente; ver más abajo), entonces M ′ se genera finitamente. Además, M es Noetheriano (resp. Artinian) si y sólo si M ′ , M ′ ′ son Noetherian (resp. Artinian).
Sea B un anillo y A su subanillo de modo que B es un módulo A derecho fielmente plano . A continuación, una izquierda A -módulo F es de generación finita (resp. Finitamente presentado) si y sólo si el B -módulo B ⊗ A F es de generación finita (resp. Presentó finito). [2]
Módulos finamente generados sobre un anillo conmutativo
Para módulos generados de forma finita sobre un anillo conmutativo R , el lema de Nakayama es fundamental. A veces, el lema permite probar fenómenos de espacios vectoriales de dimensión finita para módulos generados de forma finita. Por ejemplo, si f : M → M es un sobreyectiva R -endomorphism de un módulo finitamente generado M , entonces f también es inyectiva , y por lo tanto es un automorfismo de M . [3] Esto dice simplemente que M es un módulo de Hopfian . De manera similar, un módulo artiniano M es coHopfiano : cualquier endomorfismo inyectivo f es también un endomorfismo sobreyectivo. [4]
Cualquier módulo R es un límite inductivo de submódulos R generados finitamente . Esto es útil para debilitar una suposición al caso finito (por ejemplo, la caracterización de la planitud con el funtor de Tor ).
Un ejemplo de un vínculo entre la generación finita y los elementos integrales se puede encontrar en álgebras conmutativas. Decir que un álgebra conmutativa A es un anillo generado finitamente sobre R significa que existe un conjunto de elementos G = { x 1 , ..., x n } de A tal que el subanillo más pequeño de A que contiene G y R es A sí mismo. Debido a que el producto de anillo se puede usar para combinar elementos, se generan más que solo R -combinaciones lineales de elementos de G. Por ejemplo, un anillo polinomial R [ x ] es generado de forma finita por {1, x } como un anillo, pero no como un módulo . Si A es un álgebra conmutativa (con unidad) sobre R , entonces las siguientes dos afirmaciones son equivalentes: [5]
- A es un módulo R generado de forma finita .
- A es a la vez un anillo finitamente generado sobre R y una extensión integral de R .
Rango genérico
Deje que M sea un módulo finitamente generado sobre un dominio de integridad A con el campo de las fracciones K . Entonces la dimensiónse llama el rango genérico de M sobre A . Este número es el mismo que el número de máxima A vectores -linearly independientes en M o equivalentemente el rango de un submódulo libre máxima de M . (cf. rango de un grupo abeliano )., es un módulo de torsión . Cuando A es noetheriano, por libertad genérica , hay un elemento f (dependiendo de M ) tal que es gratis -módulo. A continuación, el rango de este módulo libre es el rango genérica de M .
Ahora suponga que el dominio integral A se genera como álgebra sobre un campo k por un número finito de elementos homogéneos de grados. Suponga que M también se califica y dejaser la serie Poincaré de M . Según el teorema de Hilbert-Serre , hay un polinomio F tal que. Luegoes el rango genérica de M . [6]
Un módulo generado de forma finita sobre un dominio ideal principal está libre de torsión si y solo si es libre. Esto es una consecuencia del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal , cuya forma básica dice que un módulo generado finitamente sobre un PID es una suma directa de un módulo de torsión y un módulo libre. Pero también se puede mostrar directamente de la siguiente manera: sea M un módulo finitamente generado sin torsión sobre un PID A y F un submódulo libre máximo. Sea f en A tal que. Luegoes gratis ya que es un submódulo de un módulo libre y A es un PID. Pero ahoraes un isomorfismo ya que M no tiene torsión.
Con el mismo argumento anterior, un módulo generado finitamente sobre un dominio A de Dedekind (o más generalmente un anillo semihereditario ) está libre de torsión si y solo si es proyectivo ; en consecuencia, un módulo generado de forma finita sobre A es una suma directa de un módulo de torsión y un módulo proyectivo. Un módulo proyectivo generado finitamente sobre un dominio integral noetheriano tiene rango constante y, por lo tanto, el rango genérico de un módulo generado finitamente sobre A es el rango de su parte proyectiva.
Definiciones equivalentes y módulos de cogeneración finita
Las siguientes condiciones son equivalentes a que M se genere finitamente (fg):
- Para cualquier familia de submódulos { N i | i ∈ I} en M , si, luego por alguna finita subconjunto M de Me .
- Para cualquier cadena de submódulos { N i | i ∈ I} en M , si, A continuación, N i = M para algunos i en I .
- Si es un epimorfismo , entonces la restricciónes un epimorfismo por algún subconjunto finito F de I .
A partir de estas condiciones, es fácil ver que la generación finita es una propiedad preservada por la equivalencia de Morita . Las condiciones también son convenientes para definir una noción dual de un módulo M de cogeneración finita . Las siguientes condiciones son equivalentes a un módulo en cogeneración finita (p. Ej.):
- Para cualquier familia de submódulos { N i | i ∈ I} en M , si, luego por algún subconjunto finito F de I .
- Para cualquier cadena de submódulos { N i | i ∈ I} en M , si, A continuación, N i = {0} para algunos i en I .
- Si es un monomorfismo , donde cadaes un módulo R , entonceses un monomorphism por algún subconjunto finito F de I .
Ambos módulos fg y f.cog. Los módulos tienen relaciones interesantes con los módulos Noetheriano y Artiniano, y el radical Jacobson J ( M ) y el socle soc ( M ) de un módulo. Los siguientes hechos ilustran la dualidad entre las dos condiciones. Para un módulo M :
- M es noetheriano si y solo si cada submódulo N de M es fg
- M es Artiniano si y solo si cada módulo de cociente M / N es f.cog.
- M es fg si y solo si J ( M ) es un submódulo superfluo de M , y M / J ( M ) es fg
- M es f.cog. si y solo si soc ( M ) es un submódulo esencial de M , y soc ( M ) es fg
- Si M es un módulo semisimple (como soc ( N ) para cualquier módulo N ), es fg si y solo si f.cog.
- Si M es fg y no es cero, entonces M tiene un submódulo máximo y cualquier módulo de cociente M / N es fg
- Si M es f.cog. y distinto de cero, entonces M tiene un submódulo mínimo, y cualquier submódulo N de M es f.cog.
- Si N y M / N son fg entonces también lo es M . Lo mismo es cierto si "fg" se reemplaza por "f.cog".
Los módulos finamente cogenerados deben tener una dimensión uniforme finita . Esto se ve fácilmente aplicando la caracterización utilizando el zócalo esencial finamente generado. De forma un tanto asimétrica, los módulos generados de forma finita no tienen necesariamente una dimensión uniforme finita. Por ejemplo, un producto directo infinito de anillos distintos de cero es un módulo finitamente generado (¡cíclico!) Sobre sí mismo, sin embargo, claramente contiene una suma directa infinita de submódulos distintos de cero. Los módulos finamente generados tampoco tienen necesariamente una dimensión co-uniforme finita : cualquier anillo R con unidad tal que R / J ( R ) no sea un anillo semisimple es un contraejemplo.
Otra formulación es la siguiente: un módulo M generado de forma finita es aquel para el que existe un epimorfismo
- f: R k → M .
Supongamos ahora que hay un epimorfismo,
- φ: F → M .
para un módulo M y un módulo F libre .
- Si el núcleo de φ se genera de forma finita, entonces M se denomina módulo finitamente relacionado . Dado que M es isomorfo a F / ker (φ), esto básicamente expresa que M se obtiene tomando un módulo libre e introduciendo un número finito de relaciones dentro de F (los generadores de ker (φ)).
- Si el núcleo de φ se genera de forma finita y F tiene un rango finito (es decir, F = R k ), entonces se dice que M es un módulo presentado de forma finita . Aquí, M se especifica usando un número finito de generadores (las imágenes de los k generadores de F = R k ) y un número finito de relaciones (los generadores de ker (φ)). Ver también: presentación gratuita . Los módulos finamente presentados se pueden caracterizar por una propiedad abstracta dentro de la categoría de módulos R : son precisamente los objetos compactos en esta categoría.
- Un módulo coherente M es un módulo generado de forma finita cuyos submódulos generados de forma finita se presentan de forma finita.
Sobre cualquier anillo R , los módulos coherentes se presentan de manera finita, y los módulos presentados de manera finita se generan y se relacionan de manera finita. Para un anillo noetheriano R , finitamente generado, finitamente presentado y coherente son condiciones equivalentes en un módulo.
Se produce cierto cruce para módulos proyectivos o planos. Un módulo proyectivo finitamente generado se presenta de forma finita, y un módulo plano finitamente relacionado es proyectivo.
También es cierto que las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo R :
- R es un anillo coherente derecho .
- El módulo R R es un módulo coherente.
- Cada módulo R derecho presentado de forma finita es coherente.
Aunque la coherencia parece una condición más engorrosa que la generada finitamente o la presentación finita, es mejor que ellas, ya que la categoría de módulos coherentes es una categoría abeliana , mientras que, en general, ni los módulos generados finitamente ni presentados finitamente forman una categoría abeliana.
Ver también
- Elemento integral
- Lema de Artin-Rees
- Módulo generado contablemente
- Álgebra finita
Referencias
- ^ Por ejemplo, Matsumura usa esta terminología.
- ↑ Bourbaki 1998 , Ch 1, §3, no. 6, Proposición 11.
- ^ Matsumura 1989 , Teorema 2.4.
- ^ Atiyah y Macdonald 1969 , ejercicio 6.1.
- ^ Kaplansky 1970 , p. 11, Teorema 17.
- ^ Springer 1977 , Teorema 2.5.6.
Libros de texto
- Atiyah, MF; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ontario, págs. Ix + 128, MR 0242802
- Bourbaki, Nicolas , álgebra conmutativa. Capítulos 1 a 7 . Traducido del francés. Reimpresión de la traducción inglesa de 1989. Elements of Mathematics (Berlín). Springer-Verlag, Berlín, 1998. xxiv + 625 págs. ISBN 3-540-64239-0
- Kaplansky, Irving (1970), Anillos conmutativos , Boston, Mass .: Allyn y Bacon Inc., págs. X + 180, MR 0254021
- Lam, TY (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Posgrado en Matemáticas No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
- Lang, Serge (1997), Álgebra (3.a ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-55540-0
- Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 , Traducido del japonés por M. Reid (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, págs. Xiv + 320, ISBN 0-521-36764-6, MR 1011461
- Springer, Tonny A. (1977), Teoría invariante , Lecture Notes in Mathematics, 585 , Springer, doi : 10.1007 / BFb0095644 , ISBN 978-3-540-08242-2.