Problema de las moscas de Schoen
En matemáticas , el problema de Schoenflies o el teorema de Schoenflies , de topología geométrica, es una agudización del teorema de la curva de Jordan de Arthur Schoenflies . Para las curvas de Jordan en el plano , a menudo se lo denomina teorema de Jordan-Schoenflies.
La formulación original del problema de Schoenflies establece que no solo cada curva cerrada simple en el plano separa el plano en dos regiones, una (el "interior") limitada y la otra (el "exterior") ilimitada; pero también que estas dos regiones son homeomorfas al interior y al exterior de un círculo estándar en el plano.
Una declaración alternativa es que si es una curva cerrada simple, entonces hay un homeomorfismo tal que es el círculo unitario en el plano. Se pueden encontrar demostraciones elementales en Newman (1939) , Cairns (1951) , Moise (1977) y Thomassen (1992) . El resultado se puede probar primero para polígonos cuando el homeomorfismo se puede tomar como lineal por partes y el mapa de identidad de algún conjunto compacto; el caso de una curva continua se deduce luego aproximando por polígonos. El teorema también es una consecuencia inmediata del teorema de extensión de Carathéodory para mapeos conformes , como se discute en Pommerenke (1992)., pags. 25).
Si la curva es suave, entonces el homeomorfismo se puede elegir para que sea un difeomorfismo . Las pruebas en este caso se basan en técnicas de topología diferencial . Aunque las demostraciones directas son posibles (a partir, por ejemplo, del caso poligonal), la existencia del difeomorfismo también se puede deducir utilizando el teorema de aplicación suave de Riemann para el interior y el exterior de la curva en combinación con el truco de Alexander para los difeomorfismos del círculo y un resultado en isotopía suave de topología diferencial. [1]
Tal teorema es válido sólo en dos dimensiones. En tres dimensiones hay contraejemplos como la esfera con cuernos de Alejandro . Aunque separan el espacio en dos regiones, esas regiones están tan torcidas y anudadas que no son homeomorfas con el interior y el exterior de una esfera normal.
Para curvas suaves o poligonales, el teorema de la curva de Jordan se puede demostrar de forma sencilla. De hecho, la curva tiene una vecindad tubular ., definido en el caso suave por el campo de vectores unitarios normales a la curva o en el caso poligonal por puntos a una distancia menor que ε de la curva. En la vecindad de un punto diferenciable de la curva, hay un cambio de coordenadas en el que la curva se convierte en el diámetro de un disco abierto. Tomando un punto que no está en la curva, una línea recta dirigida a la curva que comienza en el punto eventualmente se encontrará con la vecindad tubular; el camino se puede continuar junto a la curva hasta que se encuentra con el disco. Lo encontrará en un lado o en el otro. Esto prueba que el complemento de la curva tiene como máximo dos componentes conexas. Por otro lado, usando la fórmula integral de Cauchy para el número de bobinado, se puede ver que el número de vueltas es constante en componentes conexas del complemento de la curva, es cero cerca del infinito y aumenta en 1 cuando cruza la curva. Por lo tanto, la curva tiene exactamente dos componentes, su interior y el componente ilimitado. El mismo argumento funciona para una curva de Jordan diferenciable por tramos. [2]
