En matemáticas , el teorema de Carathéodory es un teorema en análisis complejo , llamado así por Constantin Carathéodory , que amplía el teorema de mapeo de Riemann . El teorema, probado por primera vez en 1913, establece que el mapeo conforme que envía el disco unitario a la región en el plano complejo delimitado por una curva de Jordan se extiende continuamente a un homeomorfismo desde el círculo unitario hasta la curva de Jordan. El resultado es uno de los resultados de Carathéodory sobre los extremos primos y el comportamiento de los límites de las funciones holomórficas univalentes.
Pruebas del teorema de Carathéodory
La primera prueba del teorema de Carathéodory que se presenta aquí es un resumen del breve relato autónomo de Garnett y Marshall (2005 , págs. 14-15); hay pruebas relacionadas en Pommerenke (1992) y Krantz (2006) .
Claramente, si f admite una extensión de un homeomorfismo, entonces ∂ U debe ser una curva de Jordan.
Por el contrario si ∂ U es una curva de Jordan, el primer paso es probar f se extiende continuamente al cierre de D . De hecho, esto se mantendrá si y solo si f es uniformemente continua en D : porque esto es cierto si tiene una extensión continua hasta el cierre de D ; y, si f es uniformemente continua, es fácil comprobar f tiene límites en el círculo de la unidad y las mismas desigualdades para controlar la continuidad uniforme sobre el cierre de D .
Suponga que f no es uniformemente continua. En este caso debe haber un ε> 0 y un punto ζ en el círculo unitario y las secuencias z n , w n tendiendo a ζ con | f ( z norte ) - f ( w n ) | ≥ 2ε. Esto se muestra a continuación para dar lugar a una contradicción, de manera que f debe ser uniformemente continua y por lo tanto tiene una extensión continua para el cierre de D .
Para 0 < r <1, sea γ r la curva dada por el arco del círculo | z - ζ | = R acostado dentro de D . Entonces f ∘ γ r es una curva de Jordan. Su longitud se puede estimar utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz :
Por lo tanto, hay una "estimación del área de longitud":
La finitud de la integral en el lado izquierdo implica que hay una secuencia r n decreciente a 0 contiende a 0. Pero la longitud de una curva g ( t ) para t en ( a , b ) viene dada por
La finitud de por lo tanto, implica que la curva tiene puntos limitantes a n , b n en sus dos extremos con | a n - b n | ≤, Por lo que esta diferencia tiende a 0. Estos dos puntos límite debe yacer sobre ∂ U , porque f es un homeomorfismo entre D y T y por lo tanto una secuencia que converge en U tiene que ser la imagen bajo f de una secuencia que converge en D . Dado que ∂ U es una imagen homeomórfica del círculo ∂ D , la distancia entre los dos parámetros correspondientes ξ n y η n en ∂ U debe tender a 0. Así que finalmente se define el arco circular más pequeño en ∂ D que une ξ n y η n y, por continuidad uniforme, el diámetro de su τ imagen n tiende a 0. Junto τ n y f ∘ γ r n formar una curva simple Jordan. Su interior U n está contenido en U por el teorema de la curva de Jordan para ∂ U y ∂ U n : para ver esto, observe que U es el interior de ∂ U , ya que está acotado, conectado y está abierto y cerrado en el complemento de ∂ U ; por lo que la región exterior de ∂ U es ilimitada, está conectada y no se cruza con ∂ U n , por lo que su cierre está contenido en el cierre del exterior de ∂ U n ; tomando complementos, obtenemos la inclusión deseada. El diámetro de ∂ U n tiende a 0 porque los diámetros de τ n y f ∘ γ r n tienden a 0. Por tanto, el diámetro y el área de U n tienden a 0.
Ahora bien, si V n denota la intersección de D con el disco | z - ζ | < r n , entonces f ( V n ) = U n . De hecho, el arco γ r n divide D en V n y una región complementaria; U n es un componente conectado de U \ f ∘ γ r n , ya que está conectado y es tanto abierto como cerrado en este conjunto, por lo que bajo el homeomorfismo conforme f la curva f ∘ γ r n divide U en U n y una complementaria región U n ′, una de las cuales es igual a f ( V n ). Dado que las áreas de f ( V n ) y U n tienden a 0, mientras que la suma de las áreas de U n y U n ′ es fija, se deduce que f ( V n ) = U n .
Por tanto, el diámetro de f ( V n ) tiende a 0. Por otro lado, pasando a las subsecuencias de ( z n ) y ( w n ) si es necesario, se puede suponer que z n y w n se encuentran en V n . Pero esto da una contradicción ya que | f ( z norte ) - f ( w n ) | ≥ ε. Así f debe ser uniformemente continua en U .
Por lo tanto f se extiende continuamente al cierre de D . Desde f ( D ) = U , por compacidad f lleva el cierre de D en el cierre de U y por lo tanto ∂ D sobre ∂ U . Si f no es uno-uno, hay puntos u , v en ∂ D con u ≠ v y f ( u ) = f ( v ). Deje que X y Y sean las líneas radiales desde 0 a u y v . Entonces f ( X ∪ Y ) es una curva de Jordan. Argumentando como antes, su interior V está contenido en U y es un componente conectado de U \ f ( X ∪ Y ). Por otro lado, D \ ( X ∪ Y ) es la unión disjunta de dos sectores abiertos W 1 y W 2 . Por lo tanto, para uno de ellos, W 1 por ejemplo, f ( W 1 ) = V . Deje que Z sea la porción de ∂ W 1 en el círculo unidad, por lo que Z es un arco cerrado y f ( Z ) es un subconjunto de tanto ∂ U y el cierre de V . Sin embargo, su intersección es un punto único y por lo tanto f es constante en Z . Por el principio de reflexión de Schwarz, f puede continuar analíticamente mediante la reflexión conforme a lo largo del arco circular. Dado que las funciones holomórficas no constantes tienen ceros aislados, esto obliga a f a ser constante, una contradicción. Así que f es uno a uno y por lo tanto un homeomorfismo sobre el cierre de D . [1] [2]
Dos demostraciones diferentes del teorema de Carathéodory se describen en Carathéodory (1954) y Carathéodory (1998) . La primera demostración sigue el método de prueba original de Carathéodory de 1913 usando propiedades de la medida de Lebesgue en el círculo: la extensión continua de la función inversa g de f a ∂ U está justificada por el teorema de Fatou sobre el comportamiento en la frontera de funciones armónicas limitadas en el disco unitario. . La segunda prueba se basa en el método de Lindelöf (1914) , donde se estableció una agudización de la desigualdad del módulo máximo para funciones holomórficas acotadas h definidas en un dominio acotado V : si a se encuentra en V , entonces
- | h ( a ) | ≤ m t ⋅ M 1 - t ,
donde 0 ≤ t ≤ 1, M es el máximo módulo de h para los límites secuenciales en ∂ U y m es el módulo máximo de h para los límites secuenciales en ∂ U se extiende en un sector centra en un subtiende un ángulo 2π t en una . [3]
Extensión continua y teorema de Carathéodory-Torhorst
Una extensión del teorema establece que un isomorfismo conforme
- ,
dónde es un subconjunto simplemente conectado de la esfera de Riemann , se extiende continuamente al círculo unitario si y solo si el límite deestá conectado localmente .
Este resultado a menudo también se atribuye a Carathéodory, pero fue declarado y probado por primera vez por Marie Torhorst en su tesis de 1918, [4] bajo la supervisión de Hans Hahn , utilizando la teoría de los fines primarios de Carathéodory . Más precisamente, Torhorst demostró que la conectividad local es equivalente a que el dominio solo tenga extremos primarios del primer tipo. Según la teoría de los fines primos, la última propiedad, a su vez, es equivalente a teniendo una extensión continua.
Notas
- ↑ Krantz , 2006 , págs. 116-117.
- ^ Garnett y Marshall , 2005 , p. 15
- ^ Ahlfors 2010 , págs. 37–40
- ↑ Torhorst, Marie (1921), "Über den Rand der einfach zusammenhängenden ebenen Gebiete" , Mathematische Zeitschrift , 9 (1-2): 44-65, doi : 10.1007 / BF01378335 , S2CID 120418797
Referencias
- Carathéodory, C. (1913a), "Zur Ränderzuordnung bei konformer Abbildung", Göttingen Nachrichten : 509–518
- Carathéodory, C. (1913b), "Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis" , Mathematische Annalen , Springer Berlin / Heidelberg, 73 (2): 305–320, doi : 10.1007 BF01456720 , ISSN 0025-5831 , JFM 44.0757.01 , S2CID 117117051
- Carathéodory, C. (1954), Teoría de funciones de una variable compleja, Vol. 2 , traducido por F. Steinhardt, Chelsea
- Carathéodory, C. (1998), Representación conformada (reimpresión de la segunda edición de 1952) , Dover, ISBN 0-486-40028-X
- Lindelöf, E. (1914), "Sur la représentation conforme", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , París, 158 : 245–247
- Lindelöf, E. (1916), "Sur la représentation conforme d'une aire simplement connexe sur l'aire d'un cercle", IV Congreso Internacional de Matemáticos Escandinavos , págs. 59–90
- Ahlfors, Lars V. (2010), Invariantes conformales: temas en la teoría de funciones geométricas , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
- Garnett, John B .; Marshall, Donald E. (2005), medida armónica , nuevas monografías matemáticas, 2 , Cambridge University Press, ISBN 0-521-47018-8
- Goluzin, GM (1969), Teoría geométrica de funciones de una variable compleja , Traducciones de monografías matemáticas, 26 , American Mathematical Society
- Krantz, Steven G. (2006), Teoría de funciones geométricas: exploraciones en análisis complejos , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4339-7
- Markushevich, AI (1977), Teoría de funciones de una variable compleja. Vol. III , Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8284-0296-5, MR 0444912
- Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15 , Vandenhoeck & Ruprecht
- Pommerenke, C. (1992), Comportamiento de límites de mapas conformes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 299 , Springer, ISBN 3-540-54751-7
- Shields, Allen (1988), "Carathéodory and conformal mapping", The Mathematical Intelligencer , 10 (1): 18-22, doi : 10.1007 / BF03023846 , ISSN 0343-6993 , MR 0918659 , S2CID 189887440
- Whyburn, Gordon T. (1942), Topología analítica , Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society, 28 , American Mathematical Society