En matemática , la topología diferencial es el campo se trata de funciones diferenciables en variedades diferenciables . Está estrechamente relacionado con la geometría diferencial y juntos forman la teoría geométrica de las variedades diferenciables .
Descripción
La topología diferencial considera las propiedades y estructuras que solo requieren una estructura suave en una variedad para ser definidas. Los colectores lisos son 'más suaves' que los colectores con estructuras geométricas adicionales, que pueden actuar como obstrucciones para ciertos tipos de equivalencias y deformaciones que existen en la topología diferencial. Por ejemplo, el volumen y la curvatura de Riemann son invariantes que pueden distinguir diferentes estructuras geométricas en la misma variedad suave, es decir, uno puede "aplanar" suavemente ciertas variedades, pero podría requerir distorsionar el espacio y afectar la curvatura o el volumen. [ cita requerida ]
Por otro lado, las variedades lisas son más rígidas que las variedades topológicas . John Milnor descubrió que algunas esferas tienen más de una estructura suave; consulte Esfera exótica y el teorema de Donaldson . Michel Kervaire exhibió variedades topológicas sin ninguna estructura uniforme. [1] Algunas construcciones de la teoría de la variedad suave, como la existencia de haces tangentes , [2] se pueden realizar en el entorno topológico con mucho más trabajo, mientras que otras no.
Uno de los temas principales de la topología diferencial es el estudio de tipos especiales de mapeos suaves entre variedades, a saber, inmersiones y sumergimientos , y las intersecciones de subvariedades a través de la transversalidad . De manera más general, uno está interesado en las propiedades e invariantes de las variedades suaves que son transmitidas por difeomorfismos , otro tipo especial de mapeo suave. La teoría de Morse es otra rama de la topología diferencial, en la que la información topológica sobre una variedad se deduce de los cambios en el rango del jacobiano de una función.
Para obtener una lista de temas de topología diferencial, consulte la siguiente referencia: Lista de temas de geometría diferencial .
Topología diferencial versus geometría diferencial
La topología diferencial y la geometría diferencial se caracterizan primero por su similitud . Ambos estudian principalmente las propiedades de variedades diferenciables, a veces con una variedad de estructuras impuestas sobre ellos.
Una diferencia importante radica en la naturaleza de los problemas que cada tema intenta abordar. En un punto de vista, [3] la topología diferencial se distingue de la geometría diferencial al estudiar principalmente aquellos problemas que son inherentemente globales . Considere el ejemplo de una taza de café y una dona. Desde el punto de vista de la topología diferencial, la rosquilla y la taza de café son iguales (en cierto sentido). Sin embargo, esta es una visión inherentemente global, porque no hay forma de que el topólogo diferencial pueda decir si los dos objetos son iguales (en este sentido) mirando solo una pequeña parte ( local ) de cualquiera de ellos. Deben tener acceso a cada objeto completo ( global ).
Desde el punto de vista de la geometría diferencial, la taza de café y la rosquilla son diferentes porque es imposible rotar la taza de café de tal manera que su configuración coincida con la de la rosquilla. Esta es también una forma global de pensar sobre el problema. Pero una distinción importante es que el geómetro no necesita todo el objeto para decidir esto. Al mirar, por ejemplo, solo una pequeña parte del asa, pueden decidir que la taza de café es diferente de la rosquilla porque el asa es más delgada (o más curva) que cualquier parte de la rosquilla.
Para decirlo de manera sucinta, la topología diferencial estudia estructuras en variedades que, en cierto sentido, no tienen una estructura local interesante. La geometría diferencial estudia estructuras en variedades que tienen una estructura local interesante (o incluso a veces infinitesimal).
Más matemáticamente, por ejemplo, el problema de construir un difeomorfismo entre dos variedades de la misma dimensión es inherentemente global, ya que localmente dos de estas variedades son siempre difeomórficas. Asimismo, el problema de calcular una cantidad en una variedad que es invariante bajo asignaciones diferenciables es inherentemente global, ya que cualquier invariante local será trivial en el sentido de que ya se exhibe en la topología de. Además, la topología diferencial no se limita necesariamente al estudio del difeomorfismo. Por ejemplo, la topología simpléctica —una subrama de la topología diferencial— estudia las propiedades globales de las variedades simplécticas . La geometría diferencial se ocupa de los problemas, que pueden ser locales o globales, que siempre tienen algunas propiedades locales no triviales. Así, la geometría diferencial puede estudiar variedades diferenciables equipadas con una conexión , una métrica (que puede ser riemanniana , pseudo-riemanniana o Finsler ), un tipo especial de distribución (como una estructura CR ), etc.
Esta distinción entre geometría diferencial y topología diferencial se difumina, sin embargo, en cuestiones que pertenecen específicamente a los invariantes de difeomorfismo local, como el espacio tangente en un punto. La topología diferencial también se ocupa de cuestiones como estas, que se refieren específicamente a las propiedades de las asignaciones diferenciables en(por ejemplo, el haz tangente , los haces de chorros , el teorema de la extensión de Whitney , etc.).
La distinción es concisa en términos abstractos:
- La topología diferencial es el estudio de las propiedades (infinitesimales, locales y globales) de estructuras en variedades que solo tienen módulos locales triviales .
- La geometría diferencial es un estudio de estructuras en variedades que tienen uno o más módulos locales no triviales .
Ver también
Notas
- ^ Kervaire 1960
- ^ Lashof 1972
- ^ Hirsch 1997
Referencias
- Bloch, Ethan D. (1996). Primer Curso de Topología Geométrica y Geometría Diferencial . Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3840-5.
- Hirsch, Morris (1997). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90148-0.
- Lashof, Richard (diciembre de 1972). "El paquete tangente de un colector topológico". American Mathematical Monthly . 79 (10): 1090–1096. doi : 10.2307 / 2317423 . JSTOR 2317423 .
- Kervaire, Michel A. (diciembre de 1960). "Una variedad que no admite ninguna estructura diferenciable". Commentarii Mathematici Helvetici . 34 (1): 257–270. doi : 10.1007 / BF02565940 .
enlaces externos
- "Topología diferencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]