Un sistema mecánico es esclerónomo si las ecuaciones de restricciones no contienen el tiempo como una variable explícita y la ecuación de restricciones puede describirse mediante coordenadas generalizadas. Estas restricciones se denominan restricciones escleronómicas . Lo contrario de esclerónomo es reónomo .
En el espacio 3-D, una partícula con masa
, velocidad
tiene energía cinética
![T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La velocidad es la derivada de la posición
con respecto al tiempo
. Utilice la regla de la cadena para varias variables :
![{\mathbf {v}}={\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial t}}\,\!.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
son coordenadas generalizadas .
Por lo tanto,
![T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial t}}\right)^{2}\,\!.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Reorganizando los términos con cuidado, [1]
![T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!:](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial t}}\right)^{2}\,\!,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial t}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![T_{2}=\sum _{{i,j}}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\,\!,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
,
,
son funciones homogéneas respectivamente de grado 0, 1 y 2 en velocidades generalizadas. Si este sistema es esclerónomo, entonces la posición no depende explícitamente del tiempo:
![{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial t}}=0\,\!.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto, solo término
no desaparece:
![T=T_{2}\,\!.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La energía cinética es una función homogénea de grado 2 en velocidades generalizadas.
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un simple péndulo
Como se muestra a la derecha, un péndulo simple es un sistema compuesto por un peso y una cuerda. La cuerda está unida en el extremo superior a un pivote y en el extremo inferior a un peso. Al ser inextensible, la longitud de la cuerda es una constante. Por tanto, este sistema es esclerónomo; obedece a la restricción escleronómica
![{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es la posición del peso y
es la longitud de la cuerda.
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un péndulo simple con pivote oscilante
Tome un ejemplo más complicado. Consulte la siguiente figura a la derecha. Suponga que el extremo superior de la cuerda está unido a un punto de pivote que experimenta un movimiento armónico simple.
![x_{t}=x_{0}\cos \omega t\,\!,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es amplitud,
es la frecuencia angular, y
es hora.
Aunque el extremo superior de la cuerda no es fijo, la longitud de esta cuerda inextensible sigue siendo una constante. La distancia entre el extremo superior y el peso debe permanecer igual. Por lo tanto, este sistema es reónomo ya que obedece a una restricción explícitamente dependiente del tiempo.
![{\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)