En matemáticas, el método del segundo momento es una técnica utilizada en la teoría y el análisis de la probabilidad para mostrar que una variable aleatoria tiene una probabilidad positiva de ser positiva. De manera más general, el "método del momento" consiste en acotar la probabilidad de que una variable aleatoria fluctúe lejos de su media, utilizando sus momentos. [1]
El método suele ser cuantitativo, ya que a menudo se puede deducir un límite inferior de la probabilidad de que la variable aleatoria sea mayor que una constante multiplicada por su expectativa. El método implica comparar el segundo momento de las variables aleatorias con el cuadrado del primer momento.
Método del primer momento
El método del primer momento es una aplicación simple de la desigualdad de Markov para variables con valores enteros. Para un no negativo , de valor entero variable aleatoria X , podemos querer para probar que X = 0 con alta probabilidad. Para obtener un límite superior para P ( X > 0), y por lo tanto un límite inferior para P ( X = 0), primero notamos que dado que X solo toma valores enteros, P ( X > 0) = P ( X ≥ 1) . Dado que X no es negativo, ahora podemos aplicar la desigualdad de Markov para obtener P ( X ≥ 1) ≤ E [ X ]. Combinando estos tenemos P ( X > 0) ≤ E [ X ]; el método del primer momento es simplemente el uso de esta desigualdad.
Método del segundo momento
En la otra dirección, que E [ X ] sea "grande" no implica directamente que P ( X = 0) sea pequeño. Sin embargo, a menudo podemos usar el segundo momento para derivar tal conclusión, usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz .
Teorema : Si X ≥ 0 es una variable aleatoria con varianza finita, entonces
Prueba : utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz , tenemos
Resolviendo para , sigue la desigualdad deseada. ∎
El método también se puede utilizar en límites de distribución de variables aleatorias. Además, la estimación del teorema anterior se puede refinar mediante la denominada desigualdad de Paley-Zygmund . Supongamos que X n es una secuencia de variables aleatorias valores reales-no negativos que convergen en el derecho a una variable aleatoria X . Si hay constantes positivas finitas c 1 , c 2 tales que
mantener para cada n , entonces se sigue de la desigualdad de Paley-Zygmund que para cada n y θ en (0, 1)
En consecuencia, X satisface la misma desigualdad .
Ejemplo de aplicación del método
Configuración del problema
El subgrafo de percolación del enlace de Bernoulli de un gráfico G en el parámetro p es un subgrafo aleatorio obtenido de G al eliminar cada borde de G con probabilidad 1− p , independientemente. El árbol binario completo infinito T es un árbol infinito donde un vértice (llamado raíz) tiene dos vecinos y todos los demás vértices tienen tres vecinos. El método del segundo momento puede usarse para mostrar que en cada parámetro p ∈ (1/2, 1] con probabilidad positiva, el componente conectado de la raíz en el subgrafo de percolación de T es infinito.
Aplicación del método
Sea K el componente de percolación de la raíz y sea T n el conjunto de vértices de T que están a una distancia n de la raíz. Deje X n es el número de vértices en T n ∩ K . Para probar que K es infinito con probabilidad positiva, basta con demostrar quecon probabilidad positiva. Por el lema inverso de Fatou , basta con mostrar que. La desigualdad de Cauchy-Schwarz da
Por tanto, basta con demostrar que
es decir, que el segundo momento está limitado desde arriba por una constante multiplicada por el primer momento al cuadrado (y ambos son distintos de cero). En muchas aplicaciones del método del segundo momento, no se pueden calcular los momentos con precisión, pero no obstante se puede establecer esta desigualdad.
En esta aplicación particular, estos momentos se pueden calcular. Para cada v específico en T n ,
Desde , resulta que
que es el primer momento. Ahora viene el cálculo del segundo momento.
Para cada par v , u en T n, sea w (v, u) el vértice en T que está más alejado de la raíz y se encuentra en la ruta simple en T hacia cada uno de los dos vértices v y u , y sea k ( v, u) denotan la distancia desde w hasta la raíz. A fin de que v , u a ser ambos en K , es necesario y suficiente para los tres caminos sencillos de w (v, u) a v , u y la raíz para estar en K . Dado que el número de aristas contenidas en la unión de estos tres caminos es 2 n - k (v, u) , obtenemos
El número de pares (v, u) tales que k (v, u) = s es igual a, para s = 0, 1, ..., n . Por eso,
que completa la prueba.
Discusión
- La elección de las variables aleatorias X n fue bastante natural en esta configuración. En algunas aplicaciones más difíciles del método, se puede requerir cierto ingenio para elegir las variables aleatorias X n para las cuales se puede llevar a cabo el argumento.
- La desigualdad de Paley-Zygmund se utiliza a veces en lugar de la desigualdad de Cauchy-Schwarz y, en ocasiones, puede dar resultados más refinados.
- Bajo el supuesto (incorrecto) de que los eventos v , u en K son siempre independientes, uno tiene, y el segundo momento es igual al primer momento al cuadrado. El método del segundo momento normalmente funciona en situaciones en las que los eventos correspondientes o las variables aleatorias son "casi independientes".
- En esta aplicación, las variables aleatorias X n se dan como sumas
- En otras aplicaciones, las correspondientes variables aleatorias útiles son integrales
- donde las funciones f n son aleatorias. En tal situación, se considera la medida del producto μ × μ y se calcula
- donde el último paso se justifica típicamente usando el teorema de Fubini .
Referencias
- Burdzy, Krzysztof; Adelman, Omer; Pemantle, Robin (1998), "Conjuntos evitados por el movimiento browniano", Annals of Probability , 26 (2): 429–464, arXiv : math / 9701225 , doi : 10.1214 / aop / 1022855639 , hdl : 1773/2194
- Lyons, Russell (1992), "Random walk, capacity, and percolation on trees", Annals of Probability , 20 (4): 2043-2088, doi : 10.1214 / aop / 1176989540
- Lyons, Russell; Peres, Yuval, probabilidad en árboles y redes
- ^ Terence Tao (18 de junio de 2008). "La ley fuerte de los grandes números" . ¿Qué hay de nuevo? . Consultado el 10 de febrero de 2009 .