En matemáticas , la desigualdad de Cauchy-Schwarz , también conocida como desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz , es una desigualdad útil en muchos campos matemáticos, como álgebra lineal , análisis , teoría de probabilidades , álgebra vectorial y otras áreas. Se considera una de las desigualdades más importantes de todas las matemáticas. [1]
La desigualdad para las sumas fue publicada por Augustin-Louis Cauchy ( 1821 ), mientras que la desigualdad correspondiente para las integrales fue probada por primera vez por Viktor Bunyakovsky ( 1859 ). La prueba moderna de la versión integral la dio Hermann Schwarz ( 1888 ). [1]
Declaración de la desigualdad
La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores y de un espacio de producto interior es cierto que
( Desigualdad de Cauchy-Schwarz [escrito usando solo el producto interno] )
dónde es el producto interior . Ejemplos de productos internos incluyen la real y complejo producto de punto ; vea los ejemplos en el producto interior . Cada producto interno da lugar a una norma , denominada canónica o inducida por norma , donde la norma de un vector se denota y define por:
de modo que esta norma y el producto interno estén relacionados por la condición definitoria dónde es siempre un número real no negativo (incluso si el producto interno tiene un valor complejo). Al sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad anterior, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede escribir en su forma más familiar: [2] [3]
( Desigualdad de Cauchy-Schwarz [escrito usando norma y producto interno] )
Además, los dos lados son iguales si y solo si y son linealmente dependientes . [4] [5]
Casos especiales
Lema de Titu - Números reales positivos
El lema de Titu (llamado así por Titu Andreescu , también conocido como lema T2, forma de Engel o desigualdad de Sedrakyan ) establece que para los reales positivos, uno tiene
Es una consecuencia directa de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obtenida al sustituir y Esta forma es especialmente útil cuando la desigualdad involucra fracciones donde el numerador es un cuadrado perfecto.
ℝ 2 - El avión
El espacio vectorial real denota el plano bidimensional. También es el espacio euclidiano bidimensional donde el producto interno es el producto escalar . Si y entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en:
dónde es el ángulo entre y .
La forma anterior es quizás la más fácil de entender la desigualdad, ya que el cuadrado del coseno puede ser como máximo 1, lo que ocurre cuando los vectores están en la misma dirección o en direcciones opuestas. También se puede reformular en términos de coordenadas vectoriales. y como
donde la igualdad se mantiene si y solo si el vector está en la misma dirección o en la opuesta que el vector , o si uno de ellos es el vector cero.
ℝ n - espacio euclidiano n -dimensional
En el espacio euclidiano con el producto interno estándar, que es el producto escalar , la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en:
En este caso, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede demostrar usando solo ideas del álgebra elemental. Considere el siguiente polinomio cuadrático en
Como no es negativo, tiene como máximo una raíz real para por tanto, su discriminante es menor o igual a cero. Es decir,
lo que produce la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
ℂ n - n -espacio complejo n -dimensional
Si con y (dónde y ) y si el producto interno en el espacio vectorial es el producto interno complejo canónico (definido por ), entonces la desigualdad se puede reformular más explícitamente de la siguiente manera (donde la notación de barra se usa para conjugación compleja ):
Es decir,
L 2
Para el espacio de producto interno de cuadrados-integrable de valor complejo funciones , la siguiente desigualdad:
La desigualdad de Hölder es una generalización de esto.
Pruebas
Hay muchas pruebas diferentes [6] de la desigualdad de Cauchy-Schwarz distintas de las que se dan a continuación. [1] [3] Al consultar otras fuentes, a menudo hay dos fuentes de confusión. Primero, algunos autores definen ⟨⋅, ⋅⟩ como lineal en el segundo argumento en lugar del primero. En segundo lugar, algunas pruebas solo son válidas cuando el campo es y no [7]
Esta sección proporciona pruebas del siguiente teorema:
Desigualdad de Cauchy-Schwarz - Sea y ser vectores arbitrarios en un espacio de producto interno sobre el campo escalar dónde es el campo de los números reales o números complejos Luego
( Desigualdad de Cauchy-Schwarz )
donde además, la igualdad se mantiene en la Desigualdad de Cauchy-Schwarz si y sólo si y son linealmente dependientes ; explícitamente, esto significa:
- si y solo si uno de y es un múltiplo escalar del otro.
( Caracterización de la igualdad en Cauchy-Schwarz )
Además, si esta igualdad se mantiene y si luego
En todas las demostraciones dadas a continuación, la prueba en el caso trivial donde al menos uno de los vectores es cero (o equivalentemente, en el caso donde ) es el mismo. Se presenta inmediatamente a continuación solo una vez para reducir la repetición. También incluye la parte fácil de la prueba de la Caracterización de Igualdad anterior ; es decir, prueba que si y son linealmente dependientes entonces
Prueba de las partes triviales: caso en el que un vector es y también una dirección de la Caracterización de la Igualdad |
---|
Por definición, y son linealmente dependientes si y solo si uno es un múltiplo escalar del otro. Si dónde es un escalar entonces lo que demuestra que la igualdad se mantiene en la Desigualdad de Cauchy-Schwarz . El caso donde para algunos escalares es muy similar, con la principal diferencia entre la compleja conjugación de : Si al menos uno de y es el vector cero entonces y son necesariamente linealmente dependientes (solo escalar, multiplique el vector distinto de cero por el número para obtener el vector cero; por ejemplo, si entonces deja así que eso ), lo que demuestra lo contrario de esta caracterización en este caso especial; es decir, esto muestra que si al menos uno de y es entonces se mantiene la Caracterización de Igualdad . Si que pasa si y solo si luego y de modo que, en particular, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple porque ambos lados de ella son La prueba en el caso de es idéntico. |
En consecuencia, la desigualdad de Cauchy-Schwarz solo debe demostrarse solo para vectores distintos de cero y también solo debe mostrarse la dirección no trivial de la Caracterización de la igualdad .
El caso especial de se demostró anteriormente, por lo que a partir de ahora se supone que Como se muestra ahora, el Cauchy-Schwarz en igualdad (y el resto del teorema) es un corolario casi inmediato de la siguiente igualdad :
- [8]
( Ecuación 1 )
que se verifica fácilmente expandiendo elementalmente (a través de la definición de la norma) y luego simplificando.
Observando que el lado izquierdo (LHS) de Eq. 1 es no negativo (lo que hace que esto también sea cierto para el lado derecho (RHS)) prueba quede donde se sigue la Desigualdad de Cauchy-Schwarz (tomando la raíz cuadrada de ambos lados). Siluego el RHS (y por lo tanto también el LHS) de Eq. 1 es que solo es posible si ; [nota 1] así que muestra que y son linealmente dependientes. [8] Dado que el inverso (trivial) se demostró anteriormente, la demostración del teorema es completa. ⯀
Detalles de Las expansiones elementales se dan ahora para el lector interesado. Dejar y así que eso y Luego
Tenga en cuenta que esta expansión no requiere ser distinto de cero; sin emabargo, debe ser distinto de cero para dividir ambos lados por y deducir de ella la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Intercambiando y da lugar a:
y por lo tanto
El caso especial de se demostró anteriormente, por lo que a partir de ahora se supone que Dejar
De la linealidad del producto interno en su primer argumento se deduce que:
Por lo tanto, es un vector ortogonal al vector (En efecto, es la proyección de en el plano ortogonal a ) Por tanto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras a
lo que da
La desigualdad de Cauchy-Schwarz se sigue multiplicando por y luego sacar la raíz cuadrada. Además, si la relación en la expresión anterior es en realidad una igualdad, entonces y por lo tanto ; la definición de luego establece una relación de dependencia lineal entre y Lo contrario se demostró al comienzo de esta sección, por lo que la prueba está completa. ⯀
El caso especial de se demostró anteriormente, por lo que a partir de ahora se supone que Dejar ser definido por
Luego
Por lo tanto, o
Si la desigualdad se mantiene como una igualdad, entonces y entonces por lo tanto y son linealmente dependientes. Lo contrario se demostró al comienzo de esta sección, por lo que la prueba está completa. ⯀
Una forma bien conocida de escribir Cauchy-Schwarz es, por :
Ahora, para simplificar, dejemos
Por lo tanto, el enunciado que estamos tratando de probar se puede escribir como .
Esto se reorganiza para , y si tenemos la ecuación cuadrática , el discriminante es.
Por lo tanto, será suficiente demostrar que esta cuadrática no tiene raíces reales (o una), es decir:
Sustituyendo de nuevo nuestros valores de , obtenemos:
Nuevamente, esto se reorganiza para:
Esto influye en:
Lo cual es cierto por la desigualdad trivial ( https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Trivial_Inequality ).
Por lo tanto, para terminar nuestra prueba, solo tenemos que demostrar que la igualdad es alcanzable.
Vemos eso es el caso de igualdad para Cauchy-Schwarz después de inspeccionar
y la igualdad es alcanzable. ⯀
Aplicaciones
Análisis
En cualquier espacio de producto interno , la desigualdad del triángulo es una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, como se muestra ahora:
Sacar raíces cuadradas da la desigualdad del triángulo:
La desigualdad de Cauchy-Schwarz se utiliza para demostrar que el producto interno es una función continua con respecto a la topología inducida por el producto interno en sí. [9] [10]
Geometría
La desigualdad de Cauchy-Schwarz permite extender la noción de "ángulo entre dos vectores" a cualquier espacio de producto interno real definiendo: [11] [12]
La desigualdad de Cauchy-Schwarz demuestra que esta definición es sensata, al mostrar que el lado derecho se encuentra en el intervalo [-1, 1] y justifica la noción de que los espacios de Hilbert (reales) son simplemente generalizaciones del espacio euclidiano . También se puede utilizar para definir un ángulo en espacios complejos de productos internos , tomando el valor absoluto o la parte real del lado derecho, [13] [14] como se hace al extraer una métrica de la fidelidad cuántica .
Teoría de probabilidad
Dejar y ser variables aleatorias , entonces la desigualdad de covarianza: [15] [16] está dada por
Después de definir un producto interno en el conjunto de variables aleatorias utilizando la expectativa de su producto,
la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en
Para probar la desigualdad de covarianza utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, sea y luego
dónde denota varianza ydenota covarianza .
Generalizaciones
Existen varias generalizaciones de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La desigualdad de Hölder lo generaliza anormas. De manera más general, se puede interpretar como un caso especial de la definición de la norma de un operador lineal en un espacio de Banach (es decir, cuando el espacio es un espacio de Hilbert ). Otras generalizaciones se encuentran en el contexto de la teoría de operadores , por ejemplo, para funciones convexas de operador y álgebras de operador , donde el dominio y / o rango se reemplazan por un álgebra C * o un álgebra W * .
Se puede utilizar un producto interno para definir un funcional lineal positivo . Por ejemplo, dado un espacio de Hilbert Al ser una medida finita, el producto interno estándar da lugar a un resultado funcional positivo. por Por el contrario, todo funcional lineal positivo en se puede utilizar para definir un producto interior dónde es el conjugado complejo puntual deEn este lenguaje, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en [17]
que se extiende palabra por palabra a funcionales positivos en C * -álgebras:
Desigualdad de Cauchy-Schwarz para funcionales positivos en C * -álgebras [18] [19] - Si es un funcional lineal positivo en un C * -álgebra entonces para todos
Los dos teoremas siguientes son más ejemplos de álgebra de operadores.
Desigualdad de Kadison-Schwarz [20] [21] (Nombre de Richard Kadison ) - Sies un mapa positivo unital, entonces para cada elemento normal en su dominio, tenemos y
Esto extiende el hecho Cuándo es un funcional lineal. El caso cuando es autoadjunto, es decir a veces se conoce como la desigualdad de Kadison .
Desigualdad de Cauchy-Schwarz ( Desigualdad de Schwarz modificada para mapas de 2 positivos [22] ) - Para un mapa de 2 positivos entre C * -álgebras, para todos en su dominio,
Otra generalización es un refinamiento obtenido al interpolar entre ambos lados la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
Desigualdad de Callebaut [23] - Reals
Este teorema se puede deducir de la desigualdad de Hölder . [24] También existen versiones no conmutativas para operadores y productos tensoriales de matrices. [25]
Ver también
- La desigualdad de Bessel
- La desigualdad de Hölder
- La desigualdad de Jensen
- Desigualdad de Kunita-Watanabe
- Desigualdad de Minkowski
Notas
- ^ De hecho, se sigue inmediatamente de la Ec. 1 que si y solo si
Citas
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... no hay duda de que esta es una de las desigualdades más utilizadas e importantes de todas las matemáticas.
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La igualdad se cumple si f
= 0 o | c> = 0. De la definición de | c>, concluimos que | a> y | b> deben ser proporcionales. - ^ Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (abril de 2009). "Varias pruebas de la desigualdad de Cauchy-Schwarz" (PDF) . Revista Matemática Octogon . 17 (1): 221-229. ISBN 978-973-88255-5-0. ISSN 1222-5657 . Consultado el 18 de mayo de 2016 .
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Referencias
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- Paulsen, V. (2003), Mapas completamente acotados y álgebras de operadores , Cambridge University Press.
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- Steele, JM (2004), Clase magistral de Cauchy-Schwarz , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54677-X
enlaces externos
- Usos más tempranos: La entrada sobre la desigualdad de Cauchy-Schwarz tiene alguna información histórica.
- Ejemplo de aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para determinar el programa interactivo y tutorial de vectores linealmente independientes .