En matemáticas , la desigualdad de Paley-Zygmund limita la probabilidad de que una variable aleatoria positiva sea pequeña, en términos de sus dos primeros momentos . Raymond Paley y Antoni Zygmund demostraron la desigualdad .
Teorema : Si Z ≥ 0 es una variable aleatoria con varianza finita, y si, luego
Prueba : Primero,
El primer sumando es como máximo , mientras que el segundo es como máximo por la desigualdad de Cauchy-Schwarz . Luego sigue la desigualdad deseada. ∎
Desigualdades relacionadas
La desigualdad de Paley-Zygmund se puede escribir como
Esto se puede mejorar. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz ,
que, después de reorganizar, implica que
Esta desigualdad es aguda; la igualdad se logra si Z casi seguramente es igual a una constante positiva.
A su vez, esto implica otra forma conveniente (conocida como desigualdad de Cantelli ) que es
dónde y . Esto se sigue de la sustitución válido cuando .
Una forma reforzada de la desigualdad de Paley-Zygmund establece que si Z es una variable aleatoria no negativa, entonces
para cada . Esta desigualdad se sigue aplicando la desigualdad habitual de Paley-Zygmund a la distribución condicional de Z dado que es positiva y observando que los diversos factores de cancelar.
Tanto esta desigualdad como la habitual desigualdad de Paley-Zygmund también admiten versiones: [1] Si Z es una variable aleatoria no negativa y luego
para cada . Esto se sigue con la misma prueba anterior pero usando la desigualdad de Hölder en lugar de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Ver también
- La desigualdad de Cantelli
- Desigualdad de concentración : un resumen de los límites de cola de las variables aleatorias.
Referencias
- ^ Petrov, Valentin V. (1 de agosto de 2007). "En límites inferiores para probabilidades de cola". Revista de Planificación e Inferencia Estadística . 137 (8): 2703–2705. doi : 10.1016 / j.jspi.2006.02.015 .
Otras lecturas
- Paley, REAC; Zygmund, A. (abril de 1932). "Sobre alguna serie de funciones, (3)". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 28 (2): 190–205. Código Bibliográfico : 1932PCPS ... 28..190P . doi : 10.1017 / S0305004100010860 .
- Paley, REAC; Zygmund, A. (julio de 1932). "Una nota sobre las funciones analíticas en el círculo unitario". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 28 (3): 266-272. Código Bibliográfico : 1932PCPS ... 28..266P . doi : 10.1017 / S0305004100010112 .