Polinomios secundarios

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En matemáticas , los polinomios secundarios asociados con una secuencia de polinomios ortogonales con respecto a una densidad se definen por${\displaystyle \{q_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle \rho (x)}$

${\displaystyle q_{n}(x)=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {p_{n}(t)-p_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.}$

Para ver que las funciones son polinomios, considere el ejemplo simple de Then,${\displaystyle q_{n}(x)}$${\displaystyle p_{0}(x)=x^{3}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}(x)&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {t^{3}-x^{3}}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {(t-x)(t^{2}+tx+x^{2})}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!(t^{2}+tx+x^{2})\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!t^{2}\rho (t)\,dt+x\int _{\mathbb {R} }\!t\rho (t)\,dt+x^{2}\int _{\mathbb {R} }\!\rho (t)\,dt\end{aligned}}}$

que es un polinomio siempre que las tres integrales en (los momentos de la densidad ) sean convergentes.${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \rho }$

Ver también

• Medida secundaria

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• v
• t
• mi