En matemáticas, la medida secundaria asociada con una medida de densidad positiva ρ cuando hay una, es una medida de densidad positiva μ, convirtiendo los polinomios secundarios asociados con los polinomios ortogonales para ρ en un sistema ortogonal.
IntroducciónBajo ciertos supuestos que especificaremos más adelante, es posible obtener la existencia de una medida secundaria e incluso expresarla.
Por ejemplo, si uno trabaja en el espacio de Hilbert L 2 ([0, 1], R , ρ)
con
en el caso general, o:
cuando ρ satisface una condición de Lipschitz .
Esta aplicación φ se denomina reductor de ρ.
De manera más general, μ et ρ están vinculados por su transformación de Stieltjes con la siguiente fórmula:
en el que c 1 es el momento de orden 1 de la medida ρ.
Estas medidas secundarias, y la teoría que las rodea, conducen a algunos resultados sorprendentes y permiten encontrar de manera elegante bastantes fórmulas de análisis tradicionales, principalmente en torno a la función Gamma de Euler , la función Zeta de Riemann y la constante de Euler .
También permitieron el esclarecimiento de integrales y series con una eficacia tremenda, aunque a priori es difícil.
Finalmente, permiten resolver ecuaciones integrales de la forma
donde g es la función desconocida, y conducen a teoremas de convergencia hacia las medidas de Chebyshev y Dirac .
Las líneas generales de la teoríaSea ρ una medida de densidad positiva en un intervalo I y admitiendo momentos de cualquier orden. Podemos construir una familia { P n } de polinomios ortogonales para el producto interno inducido por ρ. Llamemos { Q n } la secuencia de los polinomios secundarios asociados con la familia P . En determinadas condiciones, existe una medida para la que la familia Q es ortogonal. Esta medida, que podemos aclarar a partir de ρ, se denomina medida secundaria asociada a la medida inicial ρ.
Cuando ρ es una función de densidad de probabilidad , una condición suficiente para que μ, aunque admite momentos de cualquier orden puede ser una medida secundaria asociada con ρ, es que su Transformación de Stieltjes está dada por una igualdad del tipo:
a es una constante arbitraria y c 1 indica el momento de orden 1 de ρ.
Para a = 1 obtenemos la medida conocida como secundaria, notable ya que para n ≥ 1 la norma del polinomio P n para ρ coincide exactamente con la norma del polinomio secundario asociado Q n al utilizar la medida μ.
En este caso primordial, y si el espacio generado por los polinomios ortogonales es denso en L 2 ( I , R , ρ), el operador T ρ definido por
La creación de los polinomios secundarios se puede ampliar a un mapa lineal que conecta el espacio L 2 ( I , R , ρ) con L 2 ( I , R , μ) y se vuelve isométrico si se limita al hiperplano H ρ de las funciones ortogonales con P 0 = 1.
Para funciones no especificadas integrables al cuadrado para ρ obtenemos la fórmula más general de covarianza :
La teoría continúa introduciendo el concepto de medida reducible, lo que significa que el cociente ρ / μ es un elemento de L 2 ( I , R , μ). A continuación, se establecen los siguientes resultados:
El reductor φ de ρ es un antecedente de ρ / μ para el operador T ρ . (De hecho, el único antecedente que pertenece a H ρ ).
Para cualquier función cuadrada integrable para ρ, existe una igualdad conocida como fórmula reductora:
- .
El operador
definido en los polinomios se prolonga en una isometría S ρ que une el cierre del espacio de estos polinomios en L 2 ( I , R , ρ 2 μ −1 ) al hiperplano H ρ provisto de la norma inducida por ρ.
Bajo ciertas condiciones restrictivas, el operador S ρ actúa como el adjunto de T ρ para el producto interno inducido por ρ.
Finalmente, los dos operadores también están conectados, siempre que las imágenes en cuestión estén definidas, por la fórmula fundamental de composición:
Caso de la medida de Lebesgue y algunos otros ejemplosLa medida de Lebesgue en el intervalo estándar [0, 1] se obtiene tomando la densidad constante ρ ( x ) = 1.
Los polinomios ortogonales asociados se denominan polinomios de Legendre y pueden aclararse mediante
La norma de P n vale
Se escribe la relación de recurrencia en tres términos:
El reductor de esta medida de Lebesgue viene dado por
La medida secundaria asociada se aclara luego como
- .
Si normalizamos los polinomios de Legendre, los coeficientes de Fourier del reductor φ relacionados con este sistema ortonormal son nulos para un índice par y están dados por
para un índice impar n .
Los polinomios de Laguerre están vinculados a la densidad ρ ( x ) = e −x en el intervalo I = [0, ∞). Son aclarados por
y están normalizados.
El reductor asociado se define por
Los coeficientes de Fourier del reductor φ relacionados con los polinomios de Laguerre están dados por
Este coeficiente C n (φ) no es otro que el opuesto de la suma de los elementos de la línea de índice n en la tabla de los números triangulares armónicos de Leibniz .
Los polinomios de Hermite están vinculados a la densidad gaussiana
en I = R .
Son aclarados por
y están normalizados.
El reductor asociado se define por
Los coeficientes de Fourier del reductor φ relacionados con el sistema de polinomios de Hermite son nulos para un índice par y están dados por
para un índice impar n .
La medida de Chebyshev de la segunda forma. Esto se define por la densidad
en el intervalo [0, 1].
Es el único que coincide con su medida secundaria normalizada en este intervalo estándar. Bajo ciertas condiciones, ocurre como el límite de la secuencia de medidas secundarias normalizadas de una densidad dada.
Ejemplos de medidas no reducibles
Medida de Jacobi en (0, 1) de densidad
Medida de Chebyshev en (-1, 1) de la primera forma de densidad
Secuencia de medidas secundariasLa medida secundaria μ asociada con una función de densidad de probabilidad ρ tiene su momento de orden 0 dado por la fórmula
donde c 1 y c 2 indican los momentos respectivos de orden 1 y 2 de ρ.
Entonces, para poder iterar el proceso, se 'normaliza' μ mientras se define ρ 1 = μ / d 0 que se convierte a su vez en una densidad de probabilidad llamada naturalmente la medida secundaria normalizada asociada con ρ.
Entonces podemos crear a partir de ρ 1 una medida secundaria normalizada ρ 2 , luego definir ρ 3 a partir de ρ 2 y así sucesivamente. Por lo tanto, podemos ver una secuencia de medidas secundarias sucesivas, creadas a partir de ρ 0 = ρ, es tal que ρ n +1 que es la medida secundaria normalizada deducida de ρ n
Es posible aclarar la densidad ρ n utilizando los polinomios ortogonales P n para ρ, los polinomios secundarios Q n y el reductor φ asociado. Que da la formula
El coeficiente se obtiene fácilmente a partir de los coeficientes principales de los polinomios P n −1 y P n . También podemos aclarar el reductor φ n asociado con ρ n , así como los polinomios ortogonales correspondientes a ρ n .
Un resultado muy bonito relaciona la evolución de estas densidades cuando el índice tiende al infinito y el soporte de la medida es el intervalo estándar [0, 1].
Dejar
ser la clásica relación de recurrencia en tres términos. Si
entonces la secuencia {ρ n } converge completamente hacia la densidad de Chebyshev de la segunda forma
- .
Estas condiciones sobre límites son controladas por una clase muy amplia de densidades tradicionales. Se puede encontrar una derivación de la secuencia de medidas secundarias y convergencia en [1]
Medidas equinormales
Se llaman dos medidas que conducen a la misma densidad secundaria normalizada. Es notable que los elementos de una clase dada y que tengan el mismo momento de orden 1 estén conectados por una homotopía. Más precisamente, si la función de densidad ρ tiene su momento de orden 1 igual ac 1 , entonces estas densidades equinormales con ρ vienen dadas por una fórmula del tipo:
t describiendo un intervalo que contiene] 0, 1].
Si μ es la medida secundaria de ρ, la de ρ t será t μ.
El reductor de ρ t es
observando G ( x ) el reductor de μ.
Los polinomios ortogonales para la medida ρ t se aclaran de n = 1 mediante la fórmula
con Q n polinomio secundario asociado con P n .
También es notable que, en el sentido de las distribuciones, el límite cuando t tiende hacia 0 por valor más alto de ρ t es la medida de Dirac concentrada en c 1 .
Por ejemplo, las densidades equinormales con la medida de Chebyshev de la segunda forma se definen por:
con t describiendo] 0, 2]. El valor t = 2 da la medida de Chebyshev de la primera forma.
Algunas aplicaciones hermosasEn las fórmulas siguientes, G es la constante de Catalán , γ es la constante de Euler , β 2 n es el número de Bernoulli de orden 2 n , H 2 n +1 es el número armónico de orden 2 n +1 y Ei es la función integral exponencial .
La notación indicando las 2 funciones periódicas coincidentes con en (-1, 1).
Si la medida ρ es reducible y sea φ el reductor asociado, se tiene la igualdad
Si la medida ρ es reducible con μ el reductor asociado, entonces si f es cuadrado integrable para μ, y si g es cuadrado integrable para ρ y es ortogonal con P 0 = 1 uno tiene equivalencia:
c 1 indica el momento de orden 1 de ρ y T ρ el operador
Además, la secuencia de medidas secundarias tiene aplicaciones en Mecánica Cuántica. La secuencia da lugar a la llamada secuencia de densidades espectrales residuales para hamiltonianos Pauli-Fierz especializados. Esto también proporciona una interpretación física de la secuencia de medidas secundarias. [1]
Ver también- Polinomios ortogonales
- Probabilidad
Referencias- ^ a b Mapeos de sistemas cuánticos abiertos en representaciones en cadena e incrustaciones de Markovian, MP Woods, R. Groux, AW Chin, SF Huelga, MB Plenio. https://arxiv.org/abs/1111.5262
enlaces externos- página personal de Roland Groux sobre la teoría de las medidas secundarias