El problema de la secretaria demuestra un escenario que involucra la teoría de parada óptima [1] que se estudia extensamente en los campos de probabilidad aplicada , estadística y teoría de la decisión . También se conoce como el problema del matrimonio , el problema de la dote del sultán, el problema del pretendiente quisquilloso , el juego del googol y el problema de la mejor elección .
La forma básica del problema es la siguiente: imagine un administrador que quiera contratar a la mejor secretaria de solicitantes clasificables para un puesto. Los solicitantes son entrevistados uno por uno en orden aleatorio. Se debe tomar una decisión sobre cada solicitante en particular inmediatamente después de la entrevista. Una vez rechazado, un solicitante no puede ser retirado. Durante la entrevista, el administrador obtiene información suficiente para clasificar al solicitante entre todos los solicitantes entrevistados hasta el momento, pero desconoce la calidad de los solicitantes aún no vistos. La pregunta es sobre la estrategia óptima ( regla de detención ) para maximizar la probabilidad de seleccionar al mejor candidato. Si la decisión se puede aplazar hasta el final, esto se puede resolver mediante el simple algoritmo de selección máxima de seguimiento del máximo en ejecución (y quién lo logró), y seleccionando el máximo general al final. La dificultad es que la decisión debe tomarse de inmediato.
La prueba rigurosa más corta conocida hasta ahora la proporciona el algoritmo de probabilidades . Implica que la probabilidad de ganar óptima es siempre al menos(donde e es la base del logaritmo natural ), y que este último se mantiene incluso en una generalidad mucho mayor. La regla de parada óptima prescribe siempre rechazar la primerasolicitantes que son entrevistados y luego se detienen en el primer solicitante que es mejor que todos los solicitantes entrevistados hasta ahora (o continúan hasta el último solicitante si esto nunca ocurre). A veces, esta estrategia se llama regla de detención, porque la probabilidad de detenerse en el mejor solicitante con esta estrategia es de aproximadamente ya para valores moderados de . Una razón por la que el problema de la secretaria ha recibido tanta atención es que la política óptima para el problema (la regla de detención) es simple y selecciona al mejor candidato en aproximadamente el 37% del tiempo, independientemente de si hay 100 o 100 millones de solicitantes.
Formulación
Aunque existen muchas variaciones, el problema básico se puede plantear de la siguiente manera:
- Hay un solo puesto para cubrir.
- Hay n candidatos para el puesto y se conoce el valor de n .
- Los solicitantes, si se ven en conjunto, se pueden clasificar de mejor a peor sin ambigüedades.
- Los solicitantes son entrevistados secuencialmente en orden aleatorio, siendo cada orden igualmente probable.
- Inmediatamente después de una entrevista, el solicitante entrevistado es aceptado o rechazado y la decisión es irrevocable.
- La decisión de aceptar o rechazar a un solicitante puede basarse únicamente en los rangos relativos de los solicitantes entrevistados hasta ahora.
- El objetivo de la solución general es tener la mayor probabilidad de seleccionar al mejor candidato de todo el grupo. Esto es lo mismo que maximizar la recompensa esperada, con una recompensa definida como una para el mejor solicitante y cero en caso contrario.
Un candidato se define como un solicitante que, al ser entrevistado, es mejor que todos los solicitantes entrevistados anteriormente. Omitir se utiliza para significar "rechazar inmediatamente después de la entrevista". Dado que el objetivo del problema es seleccionar al mejor candidato, solo los candidatos serán considerados para la aceptación. El "candidato" en este contexto corresponde al concepto de registro en permutación.
Derivando la política óptima
La política óptima para el problema es una regla de detención . Debajo de ella, el entrevistador rechaza la primera r - 1, el solicitante (solicitante permiten M sea el mejor candidato entre éstos r - 1, el solicitante), y luego selecciona el primer solicitante posterior que es mejor que el solicitante M . Se puede demostrar que la estrategia óptima radica en esta clase de estrategias. [ cita requerida ] (Tenga en cuenta que nunca debemos elegir a un solicitante que no sea el mejor que hemos visto hasta ahora, ya que no puede ser el mejor solicitante en general). Para un límite arbitrario r , la probabilidad de que se seleccione el mejor solicitante es
La suma no está definida para r = 1, pero en este caso la única política factible es seleccionar al primer solicitante y, por lo tanto, P (1) = 1 / n . Esta suma se obtiene al señalar que si el solicitante i es el mejor solicitante, entonces se selecciona si y solo si el mejor solicitante entre los primeros solicitantes i - 1 se encuentra entre los primeros solicitantes r - 1 que fueron rechazados. Dejando que n tiende al infinito, escribiendocomo el límite de (r-1) / n , usando t para (i-1) / n y dt para 1 / n , la suma se puede aproximar por la integral
Tomando la derivada de P ( x ) con respecto a, estableciéndolo en 0 y despejando x , encontramos que el óptimo x es igual a 1 / e . Por lo tanto, el punto de corte óptimo tiende a n / e a medida que n aumenta, y el mejor solicitante se selecciona con probabilidad 1 / e .
Para valores pequeños de n , el r óptimo también se puede obtener mediante métodos de programación dinámica estándar . Los umbrales óptimos r y la probabilidad de seleccionar la mejor alternativa P para varios valores de n se muestran en la siguiente tabla.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | |
1.000 | 0.500 | 0.500 | 0,458 | 0.433 | 0,428 | 0,414 | 0.410 | 0.406 |
La probabilidad de seleccionar al mejor candidato en el problema clásico de la secretaria converge hacia .
Solución alternativa
Este problema y varias modificaciones se pueden resolver (incluida la prueba de optimalidad) de manera sencilla mediante el algoritmo de probabilidades , que también tiene otras aplicaciones. Las modificaciones para el problema de la secretaria que pueden ser resueltas por este algoritmo incluyen disponibilidades aleatorias de los solicitantes, hipótesis más generales para que los solicitantes sean de interés para el tomador de decisiones, entrevistas grupales para los solicitantes, así como ciertos modelos para un número aleatorio de solicitantes.
Limitaciones
La solución del problema de la secretaria solo es significativa si se justifica suponer que los solicitantes no tienen conocimiento de la estrategia de decisión empleada, porque los solicitantes tempranos no tienen ninguna posibilidad y es posible que no se presenten de otra manera. [ cita requerida ]
Un inconveniente importante para las aplicaciones de la solución del problema clásico de la secretaria es que el número de solicitantes debe ser conocido de antemano, lo que rara vez es el caso. Una forma de superar este problema es suponer que el número de solicitantes es una variable aleatoria. con una distribución conocida de (Presman y Sonin, 1972). Sin embargo, para este modelo, la solución óptima es en general mucho más difícil. Además, la probabilidad de éxito óptima ya no es de alrededor de 1 / e, sino que suele ser menor. Esto puede entenderse en el contexto de tener un "precio" que pagar por no conocer el número de solicitantes. Sin embargo, en este modelo el precio es elevado. Dependiendo de la elección de la distribución de, la probabilidad de ganar óptima puede acercarse a cero. La búsqueda de formas de hacer frente a este nuevo problema condujo a un nuevo modelo que arrojó la denominada ley 1 / e de la mejor opción.
1 / ley electrónica de la mejor opción
La esencia del modelo se basa en la idea de que la vida es secuencial y que los problemas del mundo real se plantean en tiempo real. Además, es más fácil estimar las horas en las que eventos específicos (llegadas de solicitantes) deberían ocurrir con más frecuencia (si es que ocurren) que estimar la distribución del número de eventos específicos que ocurrirán. Esta idea llevó al siguiente enfoque, el llamado enfoque unificado (1984):
El modelo se define de la siguiente manera: un solicitante debe ser seleccionado en algún intervalo de tiempo de un número desconocido de candidatos clasificados. El objetivo es maximizar la probabilidad de seleccionar solo el mejor bajo la hipótesis de que todas las órdenes de llegada de diferentes rangos son igualmente probables. Suponga que todos los solicitantes tienen la misma densidad de tiempo de llegada, pero independientes entre sí. en y deja denotar la función de distribución de tiempo de llegada correspondiente, es decir
- , .
Dejar ser tal que Considere la estrategia de esperar y observar a todos los solicitantes hasta el momento. y luego seleccionar, si es posible, el primer candidato después de un tiempo que es mejor que todos los anteriores. Entonces esta estrategia, denominada 1 / e-estrategia , tiene las siguientes propiedades:
La 1 / e-estrategia
- (i) rendimientos para todos una probabilidad de éxito de al menos 1 / e,
- (ii) es la estrategia única que garantiza este límite de probabilidad de éxito más bajo 1 / e, y el límite es óptimo,
- (iii) selecciona, si hay al menos un solicitante, ninguno en absoluto con una probabilidad de exactamente 1 / e.
La ley 1 / e, probada en 1984 por F. Thomas Bruss , fue una sorpresa. La razón era que antes se había considerado un valor de aproximadamente 1 / e como fuera de alcance en un modelo para datos desconocidos., mientras que este valor 1 / e ahora se alcanzó como un límite inferior para la probabilidad de éxito, y esto en un modelo con hipótesis posiblemente mucho más débiles (ver, por ejemplo, Math. Reviews 85: m).
La ley 1 / e se confunde a veces con la solución del problema clásico de la secretaria descrito anteriormente debido al papel similar del número 1 / e. Sin embargo, en 1 / e-law, este papel es más general. El resultado también es más fuerte, ya que es válido para un número desconocido de solicitantes y dado que el modelo basado en una distribución de tiempo de llegada F es más manejable para las solicitudes.
El juego de googol
Según Ferguson 1989 error harvnb: múltiples objetivos (2x): CITEREFFerguson1989 ( ayuda ) , el problema de la secretaria apareció por primera vez en forma impresa cuando fue presentado por Martin Gardner en su columna de Juegos Matemáticos de febrero de 1960 en Scientific American . [2] Así es como lo formuló Gardner: "Pídale a alguien que tome tantas tiras de papel como quiera, y en cada hoja escriba un número positivo diferente. Los números pueden variar desde pequeñas fracciones de 1 hasta un número del tamaño de una googol (1 seguido de cien ceros) o incluso más grandes. Estos resbalones se colocan boca abajo y se barajan sobre la parte superior de una mesa. Uno a la vez, se colocan los resbalones boca arriba. El objetivo es dejar de girar cuando llegue al número que supones que es el más grande de la serie. No puedes volver atrás y elegir un resbalón girado anteriormente. Si entregas todos los resbalones, entonces, por supuesto, debes elegir el último girado ".
En el artículo "¿Quién resolvió el problema de la secretaria?" Error de harvnb de Ferguson 1989 : objetivos múltiples (2x): CITEREF Ferguson1989 ( ayuda ) señaló que el problema de la secretaria seguía sin resolverse, como lo dijo M. Gardner, es decir, como un juego de suma cero para dos personas con dos jugadores antagónicos. En este juego, Alice, la jugadora informada, escribe secretamente números distintos entarjetas. Bob, el jugador que detiene, observa los valores reales y puede dejar de dar vuelta a las cartas cuando quiera, ganando si la última carta vuelta tiene el número máximo total. La diferencia con el problema básico de la secretaria es que Bob observa los valores reales escritos en las tarjetas, que puede usar en sus procedimientos de decisión. Los números en las tarjetas son análogos a las cualidades numéricas de los solicitantes en algunas versiones del problema de la secretaria. La distribución de probabilidad conjunta de los números está bajo el control de Alice.
Bob quiere adivinar el número máximo con la mayor probabilidad posible, mientras que el objetivo de Alice es mantener esta probabilidad lo más baja posible. No es óptimo para Alice muestrear los números independientemente de alguna distribución fija, y puede jugar mejor eligiendo números aleatorios de alguna manera dependiente. ParaAlice no tiene una estrategia minimax , que está estrechamente relacionada con una paradoja de T. Cover . Pero parael juego tiene una solución: Alice puede elegir números aleatorios (que son variables aleatorias dependientes) de tal manera que Bob no puede jugar mejor que usando la estrategia clásica de parada basada en los rangos relativos ( Gnedin 1994 ).
Rendimiento heurístico
El resto del artículo trata nuevamente del problema de la secretaria para un número conocido de solicitantes.
Stein, Seale & Rapoport 2003 derivaron las probabilidades de éxito esperadas para varias heurísticas psicológicamente plausibles que podrían emplearse en el problema de la secretaria. Las heurísticas que examinaron fueron:
- La regla de corte (CR): no acepta ninguna de las primeras Y solicitantes; a partir de entonces, seleccione el primer candidato encontrado (es decir, un candidato con rango relativo 1). Esta regla tiene como caso especial la política óptima para el problema de secretaria clásico para el cual y = r .
- Regla de recuento de candidatos (CCR): seleccione el y -ésimo candidato encontrado. Tenga en cuenta que esta regla no omite necesariamente a ningún solicitante; solo considera cuántos candidatos se han observado, no qué tan profundo está el tomador de decisiones en la secuencia de candidatos.
- Regla sucesiva de no candidatos (SNCR): seleccione el primer candidato encontrado después de observar y no candidatos (es decir, solicitantes con rango relativo> 1).
Cada heurística tiene un solo parámetro y . La figura (que se muestra a la derecha) muestra las probabilidades de éxito esperadas para cada heurística en función de y para problemas con n = 80.
Variante de recompensa cardinal
Encontrar al mejor candidato puede parecer un objetivo bastante estricto. Uno puede imaginar que el entrevistador preferiría contratar a un solicitante de mayor valor que a uno de menor valor, y no solo preocuparse por obtener el mejor. Es decir, el entrevistador obtendrá algún valor al seleccionar un solicitante que no es necesariamente el mejor, y el valor derivado aumenta con el valor del seleccionado.
Para modelar este problema, suponga que el los solicitantes tienen valores "verdaderos" que son variables aleatorias X extraídas iid de una distribución uniforme en [0, 1]. De manera similar al problema clásico descrito anteriormente, el entrevistador solo observa si cada solicitante es el mejor hasta el momento (un candidato), debe aceptar o rechazar a cada uno en el acto, y debe aceptar el último si es alcanzado. (Para ser claros, el entrevistador no aprende el rango relativo real de cada solicitante. Solo aprende si el solicitante tiene el rango relativo 1). Sin embargo, en esta versión la recompensa viene dada por el valor real del solicitante seleccionado. Por ejemplo, si selecciona un solicitante cuyo valor real es 0,8, obtendrá 0,8. El objetivo del entrevistador es maximizar el valor esperado del solicitante seleccionado.
Dado que los valores de la demandante son iid empates de una distribución uniforme en [0, 1], el valor esperado de la t º solicitante dado que es dado por
Como en el problema clásico, la política óptima viene dada por un umbral, que para este problema denotaremos por , en el cual el entrevistador debe comenzar a aceptar candidatos. Bearden 2006 mostró que c es o . (De hecho, el que esté más cerca de.) Esto se deriva del hecho de que dado un problema con solicitantes, la recompensa esperada por algún umbral arbitrario es
Diferenciando con respecto a c , se obtiene
Desde para todos los valores permitidos de , encontramos eso se maximiza en . Dado que V es convexo en, el umbral óptimo con valores enteros debe ser o . Por lo tanto, para la mayoría de los valores deel entrevistador comenzará a aceptar solicitantes antes en la versión de pago cardinal que en la versión clásica, donde el objetivo es seleccionar al mejor solicitante individual. Tenga en cuenta que este no es un resultado asintótico: es válido para todos. Sin embargo, esta no es la política óptima para maximizar el valor esperado de una distribución conocida. En el caso de una distribución conocida, el juego óptimo se puede calcular mediante programación dinámica.
Una forma más general de este problema introducida por Palley y Kremer (2014) [3] asume que a medida que llega cada nuevo solicitante, el entrevistador observa su rango en relación con todos los solicitantes que han sido observados anteriormente. Este modelo es consistente con la noción de que un entrevistador aprende a medida que continúa el proceso de búsqueda acumulando un conjunto de puntos de datos pasados que pueden usar para evaluar nuevos candidatos a medida que llegan. Un beneficio de este llamado modelo de información parcial es que las decisiones y los resultados obtenidos dada la información de rango relativo se pueden comparar directamente con las decisiones y resultados óptimos correspondientes si el entrevistador hubiera recibido información completa sobre el valor de cada solicitante. Este problema de información completa, en el que los solicitantes se extraen independientemente de una distribución conocida y el entrevistador busca maximizar el valor esperado del solicitante seleccionado, fue resuelto originalmente por Moser (1956), [4] Sakaguchi (1961), [5] y Karlin (1962).
Otras modificaciones
Hay varias variantes del problema de la secretaria que también tienen soluciones simples y elegantes.
Una variante reemplaza el deseo de elegir el mejor por el deseo de elegir el segundo mejor. Robert J. Vanderbei llama a esto el problema del "posdoctorado" argumentando que los "mejores" irán a Harvard. Para este problema, la probabilidad de éxito para un número par de solicitantes es exactamente. Esta probabilidad tiende a 1/4 ya que n tiende a infinito, lo que ilustra el hecho de que es más fácil elegir el mejor que el segundo mejor.
Para una segunda variante, se especifica que el número de selecciones sea mayor que uno. En otras palabras, el entrevistador no está contratando solo a una secretaria, sino que, por ejemplo, está admitiendo a una clase de estudiantes de un grupo de solicitantes. Bajo el supuesto de que el éxito se logra si y solo si todos los candidatos seleccionados son superiores a todos los candidatos no seleccionados, nuevamente es un problema que puede resolverse. Se demostró en Vanderbei 1980 que cuando n es par y el deseo es seleccionar exactamente la mitad de los candidatos, la estrategia óptima produce una probabilidad de éxito de.
Otra variante es la de seleccionar el mejor secretarias de un grupo de , nuevamente en un algoritmo en línea. Esto conduce a una estrategia relacionada con la clásica y el umbral de corte depara el cual el problema clásico es un caso especial Ghirdar 2009 .
Problema de opción múltiple
Se permite un jugador opciones, y gana si alguna opción es la mejor. Gilbert y Mosteller 1966 demostraron que una estrategia óptima viene dada por una estrategia de umbral (estrategia de corte). Una estrategia óptima pertenece a la clase de estrategias definidas por un conjunto de números de umbral., dónde . La primera opción se utilizará en los primeros candidatos que comiencen conth solicitante, y una vez que se usa la primera opción, la segunda opción se debe usar en el primer candidato comenzando con el solicitante, y así sucesivamente.
Gilbert y Mosteller demostraron que . Para otros casos que, consulte Matsui & Ano 2016 (por ejemplo).
Cuándo , la probabilidad de ganar converge a ( Gilbert y Mosteller 1966 ). Matsui & Ano 2016 demostraron que para cualquier entero positivo, la probabilidad de ganar (de elección del problema de la secretaria) converge a dónde . Por tanto, la probabilidad de ganar converge a y Cuándo respectivamente.
Estudios experimentales
Los psicólogos y economistas experimentales han estudiado el comportamiento de decisión de personas reales en situaciones de problemas de secretaria. [6] En gran parte, este trabajo ha demostrado que las personas tienden a dejar de buscar demasiado pronto. Esto puede explicarse, al menos en parte, por el costo de evaluar a los candidatos. En entornos del mundo real, esto podría sugerir que las personas no buscan lo suficiente cuando se enfrentan a problemas en los que las alternativas de decisión se encuentran secuencialmente. Por ejemplo, al tratar de decidir en qué estación de servicio de una carretera detenerse para cargar combustible, es posible que las personas no busquen lo suficiente antes de detenerse. Si es cierto, entonces tenderían a pagar más por la gasolina que si hubieran buscado más tiempo. Lo mismo puede ocurrir cuando las personas buscan boletos de avión en línea. La investigación experimental sobre problemas como el problema de la secretaria a veces se denomina investigación de operaciones conductuales .
Correlatos neuronales
Si bien existe un cuerpo sustancial de investigación en neurociencia sobre la integración de la información, o la representación de la creencia, en tareas de toma de decisiones perceptivas utilizando tanto animales [7] [8] como sujetos humanos, [9] se sabe relativamente poco acerca de cómo la decisión para dejar de recopilar información.
Los investigadores han estudiado las bases neuronales para resolver el problema de la secretaria en voluntarios sanos mediante resonancia magnética funcional . [10] Se utilizó un proceso de decisión de Markov (MDP) para cuantificar el valor de continuar la búsqueda frente a comprometerse con la opción actual. Las decisiones de tomar o rechazar una opción involucraron cortezas prefrontales parietal y dorsolateral , así como el cuerpo estriado ventral , la ínsula anterior y el cíngulo anterior . Por lo tanto, las regiones del cerebro previamente implicadas en la integración de pruebas y la representación de recompensas codifican los cruces de umbrales que desencadenan decisiones para comprometerse con una elección.
Historia
El problema de la secretaria aparentemente fue introducido en 1949 por Merrill M. Flood , quien lo llamó el problema de la novia en una conferencia que dio ese año. Se refirió a él varias veces durante la década de 1950, por ejemplo, en una conferencia en Purdue el 9 de mayo de 1958, y finalmente se hizo ampliamente conocido en el folclore, aunque no se publicó nada en ese momento. En 1958, envió una carta a Leonard Gillman , con copias a una docena de amigos, incluidos Samuel Karlin y J. Robbins, en la que describía una prueba de la estrategia óptima, con un apéndice de R. Palermo, quien demostró que todas las estrategias están dominadas por una estrategia de la forma "rechazar la primera p incondicionalmente, luego aceptar al siguiente candidato que sea mejor". (Véase Flood (1958).)
Aparentemente, la primera publicación fue de Martin Gardner en Scientific American, febrero de 1960. Se había enterado de ella por John H. Fox Jr. y L. Gerald Marnie, que habían ideado independientemente un problema equivalente en 1958; lo llamaron el "juego de googol". Fox y Marnie no conocían la solución óptima; Gardner pidió consejo a Leo Moser , quien (junto con JR Pounder) proporcionó un análisis correcto para su publicación en la revista. Poco después, varios matemáticos le escribieron a Gardner para contarle sobre el problema equivalente que habían escuchado a través de la vid, todo lo cual probablemente se remonta al trabajo original de Flood.
La ley 1 / e de mejor elección se debe a F. Thomas Bruss (1984).
Ferguson (1989) tiene una extensa bibliografía y señala que Arthur Cayley había considerado un problema similar (pero diferente) en 1875 e incluso Johannes Kepler mucho antes.
Generalización combinatoria
El problema de la secretaria se puede generalizar al caso en el que hay varios trabajos diferentes. De nuevo, haysolicitantes que vienen en orden aleatorio. Cuando llega un candidato, revela un conjunto de números no negativos. Cada valor especifica su calificación para uno de los trabajos. El administrador no solo tiene que decidir si acepta o no a la solicitante, sino que, de ser así, también debe asignarla de forma permanente a uno de los puestos de trabajo. El objetivo es encontrar una tarea donde la suma de calificaciones sea lo más grande posible. Este problema es idéntico a encontrar una coincidencia de peso máximo en un gráfico bipartito ponderado por bordes donde ellos nodos de un lado llegan en línea en orden aleatorio. Por lo tanto, es un caso especial del problema de emparejamiento bipartito en línea .
Mediante una generalización del algoritmo clásico para el problema de la secretaria, es posible obtener una asignación donde la suma esperada de calificaciones es solo un factor de menos que una asignación óptima (fuera de línea). [11]
Ver también
- Problema de asignación
- Algoritmo de probabilidades
- Parada óptima
- El problema de Robbins
- Teoría de la búsqueda
- Problema de matrimonio estable
Notas
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( ayuda )
enlaces externos
- Secuencia OEIS A054404 (Número de hijas que deben esperar antes de recoger el problema de la dote del sultán con n hijas)
- Weisstein, Eric W. "Problema de la dote del sultán" . MathWorld .
- Neil Bearden. "Búsqueda óptima (problemas de secretaria)" . Archivado desde el original el 4 de enero de 2017.
- Libro de detenciones y aplicaciones óptimas de Thomas S. Ferguson