En matemáticas, un número autodescriptivo es un entero m que en una base b dada tiene b dígitos de largo en el que cada dígito d en la posición n (el dígito más significativo está en la posición 0 y el menos significativo en la posición b −1) cuenta cuántas instancias del dígito n hay en m .
Por ejemplo, en base 10, el número 6210001000 es autodescriptivo debido a las siguientes razones:
En base 10, el número tiene 10 dígitos, lo que indica su base; Contiene 6 en la posición 0, lo que indica que hay seis 0 en 6210001000; Contiene 2 en la posición 1, lo que indica que hay dos 1 en 6210001000; Contiene 1 en la posición 2, lo que indica que hay un 2 en 6210001000; Contiene 0 en la posición 3, lo que indica que no hay 3 en 6210001000; Contiene 0 en la posición 4, lo que indica que no hay 4 en 6210001000; Contiene 0 en la posición 5, lo que indica que no hay 5 en 6210001000; Contiene 1 en la posición 6, lo que indica que hay un 6 en 6210001000; Contiene 0 en la posición 7, lo que indica que no hay 7 en 6210001000; Contiene 0 en la posición 8, lo que indica que no hay 8 en 6210001000; Contiene 0 en la posición 9, lo que indica que no hay 9 en 6210001000.
No hay números autodescriptivos en las bases 1, 2, 3 o 6. En las bases 7 y superiores, hay, al menos, un número autodescriptivo de la forma , que tiene b −4 instancias del dígito 0, dos instancias del dígito 1, una instancia del dígito 2, una instancia del dígito b - 4 y ninguna instancia de cualquier otro dígito. La siguiente tabla enumera algunos números autodescriptivos en algunas bases seleccionadas:
A partir de los números enumerados en la tabla, parecería que todos los números autodescriptivos tienen sumas de dígitos iguales a su base y que son múltiplos de esa base. El primer hecho se deriva trivialmente del hecho de que la suma de dígitos es igual al número total de dígitos, que es igual a la base, de la definición de número autodescriptivo.
Que un número autodescriptivo en base b debe ser un múltiplo de esa base (o de manera equivalente, que el último dígito del número autodescriptivo debe ser 0) se puede probar por contradicción de la siguiente manera: suponga que de hecho hay un yo -número descriptivo m en base b que tiene b -dígitos de longitud pero no múltiplo de b . El dígito en la posición b - 1 debe ser al menos 1, lo que significa que hay al menos una instancia del dígito b - 1 en m . En cualquier posición x cae el dígito b - 1, debe haber al menos b - 1 instancias del dígito x enm . Por lo tanto, tenemos al menos una instancia del dígito 1 y b - 1 instancias de x . Si x > 1, entonces m tiene más de b dígitos, lo que lleva a una contradicción de nuestro enunciado inicial. Y si x = 0 o 1, eso también conduce a una contradicción.
De ello se deduce que un número autodescriptivo en la base b es un número de Harshad en la base b .
Una generalización de los números autodescriptivos, llamados números autobiográficos , permite menos dígitos que la base, siempre que los dígitos que se incluyen en el número sean suficientes para describirlo completamente. por ejemplo, en base 10, 3211000 tiene 3 ceros, 2 unos, 1 dos y 1 tres. Tenga en cuenta que esto depende de que se le permita incluir tantos ceros finales como sea necesario, sin que agreguen más información sobre los otros dígitos presentes.
Debido a que los ceros iniciales no se escriben, cada número autobiográfico contiene al menos un cero, por lo que su primer dígito es distinto de cero.
Si se considera un caso hipotético en el que los dígitos se tratan en el orden opuesto: las unidades son la cuenta de ceros, las decenas la cuenta de unos, etc., no existen tales números autodescriptivos. Los intentos de construir uno dan como resultado un requisito explosivo para agregar más y más dígitos.
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