Poder de tres

Para otros usos, consulte Power of Three .

En matemáticas , una potencia de tres es un número de la forma 3 ⁿ donde n es un número entero , es decir, el resultado de la exponenciación con el número tres como base y el número entero  n como exponente .

Aplicaciones

Las potencias de tres dan los valores posicionales en el sistema de numeración ternario . ^[1]

En la teoría de grafos , las potencias de tres aparecen en el límite de Luna-Moser 3 ^{n / 3} en el número de conjuntos independientes máximos de un gráfico de n -vértices, ^[2] y en el análisis de tiempo del algoritmo de Bron-Kerbosch para encontrar estos conjuntos . ^[3] Varios gráficos importantes fuertemente regulares también tienen un número de vértices que es una potencia de tres, incluido el gráfico de Brouwer-Haemers (81 vértices), el gráfico de Berlekamp-van Lint-Seidel (243 vértices) y el gráfico de Games (729 vértices) ). ^[4]

En la combinatoria enumerativa , hay 3 ⁿ subconjuntos con signo de un conjunto de n elementos. En la combinatoria poliédrica , el hipercubo y todos los demás politopos de Hanner tienen un número de caras (sin contar el conjunto vacío como una cara) que es una potencia de tres. Por ejemplo, un cubo o cuadrado de 2 tiene 4 vértices, 4 aristas y 1 cara, y 4 + 4 + 1 = 3 ² . De Kalai 3 ^d conjetura estados que este es el posible número mínimo de caras para un centralmente simétrica politopo. ^[5]

En matemáticas recreativas y geometría fractal , se producen potencias inversas de tres longitudes en las construcciones que conducen al copo de nieve de Koch , ^[6] conjunto de Cantor , ^[7] alfombra de Sierpinski y esponja de Menger , en el número de elementos en los pasos de construcción para un Triángulo de Sierpinski , y en muchas fórmulas relacionadas con estos conjuntos. Hay 3 ⁿ estados posibles en un rompecabezas de la Torre de Hanoi con n discos o vértices en su gráfico de Hanoi asociado . ^[8] En un rompecabezas de equilibrio con wpasos de pesaje, hay 3 ^w posibles resultados (secuencias en las que la báscula se inclina hacia la izquierda o hacia la derecha o se mantiene equilibrada); las potencias de tres a menudo surgen en las soluciones de estos acertijos, y se ha sugerido que (por razones similares) las potencias de tres formarían un sistema ideal de monedas . ^[9]

En teoría de números , todas las potencias de tres son números perfectos para la ciencia . ^[10] Las sumas de potencias distintas de tres forman una secuencia de Stanley , la secuencia lexicográficamente más pequeña que no contiene una progresión aritmética de tres elementos. ^[11] Una conjetura de Paul Erdős establece que esta secuencia no contiene poderes de dos distintos de 1, 4 y 256. ^[12]

El número de Graham , un número enorme que surge de una demostración en la teoría de Ramsey , es (en la versión popularizada por Martin Gardner ) una potencia de tres. Sin embargo, la publicación real de la prueba por Ronald Graham utilizó un número diferente. ^[13]

Los poderes 0 a 63 de tres

(secuencia A000244 en la OEIS )

3 0	=	1		3 16	=	43046721		3 32	=	1853020188851841		3 48	=	79766443076872509863361
3 1	=	3		3 17	=	129140163		3 33	=	5559060566555523		3 49	=	239299329230617529590083
3 2	=	9		3 18	=	387,420,489		3 34	=	16677181699666569		3 50	=	717897987691852588770249
3 3	=	27		3 19	=	1162261467		3 35	=	50031545098999707		3 51	=	2153693963075557766310747
3 4	=	81		3 20	=	3486784401		3 36	=	150094635296999121		3 52	=	6461081889226673298932241
3 5	=	243		3 21	=	10460353203		3 37	=	450283905890997363		3 53	=	19383245667680019896796723
3 6	=	729		3 22	=	31381059609		3 38	=	1350851717672992089		3 54	=	58149737003040059690390169
3 7	=	2187		3 23	=	94143178827		3 39	=	4052555153018976267		3 55	=	174449211009120179071170507
3 8	=	6561		3 24	=	282429536481		3 40	=	12157665459056928801		3 56	=	523347633027360537213511521
3 9	=	19683		3 25	=	847288609443		3 41	=	36472996377170786403		3 57	=	1570042899082081611640534563
3 10	=	59049		3 26	=	2541865828329		3 42	=	109418989131512359209		3 58	=	4710128697246244834921603689
3 11	=	177147		3 27	=	7625597484987		3 43	=	328256967394537077627		3 59	=	14130386091738734504764811067
3 12	=	531441		3 28	=	22876792454961		3 44	=	984770902183611232881		3 60	=	42391158275216203514294433201
3 13	=	1594323		3 29	=	68630377364883		3 45	=	2954312706550833698643		3 61	=	127173474825648610542883299603
3 14	=	4782969		3 30	=	205891132094649		3 46	=	8862938119652501095929		3 62	=	381520424476945831628649898809
3 15	=	14348907		3 31	=	617673396283947		3 47	=	26588814358957503287787		3 63	=	1144561273430837494885949696427

Ver también

• Poder de 10

Referencias

1. Ranucci, Ernest R. (diciembre de 1968), " Ternario tentador ", El profesor de aritmética , 15 (8): 718–722, doi : 10.5951 / AT.15.8.0718 , JSTOR  41185884
2. Luna, JW; Moser, L. (1965), "Sobre camarillas en gráficos", Israel Journal of Mathematics , 3 : 23-28, doi : 10.1007 / BF02760024 , MR 0182577 , S2CID 9855414  
3. Tomita, Etsuji; Tanaka, Akira; Takahashi, Haruhisa (2006), "La complejidad temporal del peor de los casos para generar todas las camarillas máximas y experimentos computacionales", Informática teórica , 363 (1): 28–42, doi : 10.1016 / j.tcs.2006.06.015
4. Para los gráficos de Brouwer-Haemers y Games, consulte Bondarenko, Andriy V .; Radchenko, Danylo V. (2013), "Sobre una familia de gráficos fuertemente regulares con ", Journal of Combinatorial Theory , Serie B, 103 (4): 521–531, arXiv : 1201.0383 , doi : 10.1016 / j.jctb.2013.05 0.005 , MR 3071380${\displaystyle \lambda =1}$ . Para los gráficos de Berlekamp – van Lint – Seidel y Games, consulte van Lint, JH ; Brouwer, AE (1984), "Gráficos fuertemente regulares y geometrías parciales" (PDF) , en Jackson, David M .; Vanstone, Scott A. (eds.), Enumeración y diseño: artículos de la conferencia sobre combinatoria celebrada en la Universidad de Waterloo, Waterloo, Ontario, del 14 de junio al 2 de julio de 1982 , Londres: Academic Press, págs. 85-122 , MR 0782310  
5. Kalai, Gil (1989), "El número de caras de politopos centralmente simétricos", Gráficos y combinatoria , 5 (1): 389–391, doi : 10.1007 / BF01788696 , MR 1554357 , S2CID 8917264  
6. von Koch, Helge (1904), "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" , Arkiv för Matematik (en francés), 1 : 681-704, JFM 35.0387.02 
7. Ver, por ejemplo, Mihăilă, Ioana (2004), "The rationals of the Cantor set", The College Mathematics Journal , 35 (4): 251-255, doi : 10.2307 / 4146907 , JSTOR 4146907 , MR 2076132  
8. Hinz, Andreas M .; Klavžar, Sandi ; Milutinović, Uroš; Petr, Ciril (2013), "2.3 Gráficos de Hanoi", La torre de Hanoi: mitos y matemáticas , Basilea: Birkhäuser, págs. 120-134, doi : 10.1007 / 978-3-0348-0237-6 , ISBN 978-3-0348-0236-9, MR  3026271
9. Telser, LG (octubre de 1995), "Denominaciones óptimas para monedas y moneda", Economics Letters , 49 (4): 425–427, doi : 10.1016 / 0165-1765 (95) 00691-8
10. Iannucci, Douglas E .; Deng, Moujie; Cohen, Graeme L. (2003), "On perfect totient numbers" , Journal of Integer Sequences , 6 (4), Artículo 03.4.5, Bibcode : 2003JIntS ... 6 ... 45I , MR 2051959 
11. Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A005836" , La enciclopedia en línea de secuencias de enteros , Fundación OEIS
12. Gupta, Hansraj (1978), "Potencias de 2 y sumas de potencias distintas de 3", Univerzitet u Beogradu Publikacije Elektrotehničkog Fakulteta, Serija Matematika i Fizika (602-633): 151-158 (1979), MR 0580438 
13. Gardner, Martin (noviembre de 1977), "En el que la unión de conjuntos de puntos conduce a caminos diversos (y desviadores)", Scientific American , 237 (5): 18-28, doi : 10.1038 / scientificamerican1177-18