En matemáticas , un meandro o meandro cerrado es una curva cerrada que se evita automáticamente y que cruza una línea varias veces. Intuitivamente, un meandro puede verse como una carretera que cruza un río a través de varios puentes.
Meandro
Dada una línea orientada fija L en el plano euclidiano R 2 , un meandro de orden n es una curva cerrada no autointerseca en R 2 que transversalmente se cruza la línea en 2 n puntos para algún entero positivo n . La línea y la curva juntas forman un sistema méndrico . Se dice que dos meandros son equivalentes si hay un homeomorfismo de todo el plano que lleva a L a sí mismo y lleva un meandro al otro.
Ejemplos de
El meandro de orden 1 interseca la línea dos veces:
Los meandros de orden 2 intersecan la línea cuatro veces.
Números meandric
El número de meandros distintos de orden n es el número méndrico M n . Los primeros quince números meandric se dan a continuación (secuencia A005315 en la OEIS ).
- M 1 = 1
- M 2 = 1
- M 3 = 2
- M 4 = 8
- M 5 = 42
- M 6 = 262
- M 7 = 1828
- M 8 = 13820
- M 9 = 110954
- M 10 = 933458
- M 11 = 8152860
- M 12 = 73424650
- M 13 = 678390116
- M 14 = 6405031050
- M 15 = 61606881612
Permutaciones meandric
Una permutación méándrica de orden n se define en el conjunto {1, 2, ..., 2 n } y está determinada por un sistema méndrico de la siguiente manera:
- Con la línea orientada de izquierda a derecha, cada intersección del meandro se etiqueta consecutivamente con los números enteros, comenzando en 1.
- La curva está orientada hacia arriba en la intersección etiquetada como 1.
- La permutación cíclica sin puntos fijos se obtiene siguiendo la curva orientada a través de los puntos de intersección etiquetados.
En el diagrama de la derecha, la permutación méándrica de orden 4 viene dada por (1 8 5 4 3 6 7 2). Esta es una permutación escrita en notación cíclica y no debe confundirse con la notación de una línea .
Si π es una permutación méándrica, entonces π 2 consta de dos ciclos , uno que contiene todos los símbolos pares y el otro todos los símbolos impares. Las permutaciones con esta propiedad se denominan permutaciones alternativas , ya que los símbolos de la permutación original alternan entre números enteros pares e impares. Sin embargo, no todas las permutaciones alternativas son meandricas porque puede que no sea posible dibujarlas sin introducir una auto-intersección en la curva. Por ejemplo, la permutación alternativa de orden 3, (1 4 3 6 5 2), no es meandrica.
Meandro abierto
Dada una línea orientada fija L en el plano euclidiano R 2 , un meandro abierta de orden n es un no-auto-intersección curva orientada en R 2 que transversalmente se cruza la línea en n puntos para algún entero positivo n . Se dice que dos meandros abiertos son equivalentes si son homeomórficos en el plano.
Ejemplos de
El meandro abierto de orden 1 interseca la línea una vez:
El meandro abierto de orden 2 interseca la línea dos veces:
Números abiertos meandric
El número de meandros abiertos distintos de orden n es el número méndrico abierto m n . Los primeros quince números meandric abiertos se dan a continuación (secuencia A005316 en la OEIS ).
Semi-meandro
Dada una orientada fija ray R en el plano euclidiano R 2 , un semi-meandro de orden n es una curva cerrada no autointerseca en R 2 que corta transversalmente el rayo en n puntos para algún entero positivo n . Se dice que dos semi-meandros son equivalentes si son homeomórficos en el plano.
Ejemplos de
El semi-meandro de orden 1 interseca al rayo una vez:
El semi-meandro de orden 2 cruza el rayo dos veces:
Números semimendric
El número de semimeandros distintos de orden n es el número semimendrico M n (generalmente denotado con una línea superior en lugar de un subrayado). Los primeros quince números semimendric se dan a continuación (secuencia A000682 en la OEIS ).
Propiedades de los números meandric
Hay una función inyectiva de meandric para abrir números meandric:
- M n = m 2 n −1
Cada número meandrico puede estar acotado por números semi-meandric:
- M n ≤ M n ≤ M 2 n
Para n > 1, los números meandric son pares :
- M n ≡ 0 (mod 2)