En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas, un álgebra semisimple es un álgebra artiniana asociativa sobre un campo que tiene un radical de Jacobson trivial (solo el elemento cero del álgebra está en el radical de Jacobson). Si el álgebra es de dimensión finita esto equivale a decir que se puede expresar como un producto cartesiano de subálgebras simples .
El radical de Jacobson de un álgebra sobre un campo es el ideal que consta de todos los elementos que aniquilan cada módulo izquierdo simple. El radical contiene todos los ideales nilpotentes , y si el álgebra es de dimensión finita, el radical mismo es un ideal nilpotente. Entonces se dice que un álgebra de dimensión finita es semisimple si su radical contiene solo el elemento cero.
Un álgebra A se llama simple si no tiene ideales propios y A 2 = { ab | un , segundo ∈ UN } ≠ {0}. Como sugiere la terminología, las álgebras simples son semisimples. Los únicos ideales posibles de un álgebra simple A son A y {0}. Así, si A es simple, entonces A no es nilpotente. Como A 2 es un ideal de A y A es simple, A 2 = A . Por inducción, A n = Apara todo entero positivo n , es decir, A no es nilpotente.
Cualquier subálgebra A autoadjunta de matrices n × n con entradas complejas es semisimple. Sea Rad( A ) el radical de A . Supongamos que una matriz M está en Rad( A ). Entonces M*M se encuentra en algunos ideales nilpotentes de A , por lo tanto ( M*M ) k = 0 para algún entero positivo k . Por la semidefinición positiva de M*M , esto implica que M*M = 0. Entonces, M x es el vector cero para todo x , es decir, M = 0.
Si { A i } es una colección finita de álgebras simples, entonces su producto cartesiano A=Π A i es semisimple. Si ( a i ) es un elemento de Rad( A ) y e 1 es la identidad multiplicativa en A 1 (todas las álgebras simples poseen una identidad multiplicativa), entonces ( a 1 , a 2 , ...) · ( e 1 , 0, ...) = ( a 1 , 0..., 0) reside en algún ideal nilpotente de Π A i . Esto implica, para todo b en A 1 ,a 1 b es nilpotente en A 1 , es decir a 1 ∈ Rad( A 1 ). Entonces a 1 = 0. De manera similar, a i = 0 para todos los demás i .
Es menos evidente a partir de la definición que lo contrario de lo anterior también es cierto, es decir, cualquier álgebra semisimple de dimensión finita es isomorfa a un producto cartesiano de un número finito de álgebras simples.