En matemáticas , más específicamente en la teoría de anillos , se dice que un ideal I de un anillo R es un ideal nilpotente si existe un número natural k tal que I k = 0. [1] Por I k , se entiende el subgrupo aditivo generado por el conjunto de todos los productos de k elementos en I . [1] Por lo tanto, I es nilpotente si y solo si hay un número natural k tal que el producto de cualquier k elementos de I es 0.
La noción de un ideal nilpotente es mucho más fuerte que la de un ideal nulo en muchas clases de anillos. Sin embargo, hay casos en los que las dos nociones coinciden; esto se ejemplifica en el teorema de Levitzky . [2] [3] La noción de un ideal nilpotente, aunque interesante en el caso de los anillos conmutativos , es más interesante en el caso de los anillos no conmutativos .
Relación con ideales nulos
La noción de ideal nulo tiene una conexión profunda con la de ideal nilpotente y, en algunas clases de anillos, las dos nociones coinciden. Si un ideal es nilpotente, por supuesto es nulo, pero un ideal nulo no necesita ser nilpotente por más de una razón. La primera es que no es necesario que haya un límite superior global en el exponente requerido para aniquilar varios elementos del ideal nulo y, en segundo lugar, que cada elemento sea nilpotente no obliga a que desaparezcan los productos de elementos distintos. [1]
En un anillo artiniano de derecha , cualquier ideal nulo es nilpotente. [4] Esto se prueba observando que cualquier ideal nulo está contenido en el radical de Jacobson del anillo, y dado que el radical de Jacobson es un ideal nilpotente (debido a la hipótesis artiniana), el resultado sigue. De hecho, esto se puede generalizar a anillos noetherianos derechos ; este resultado se conoce como teorema de Levitzky . [3]
Ver también
Notas
- ↑ a b c Isaacs 1993 , p. 194.
- ↑ Isaacs, Teorema 14.38, p. 210
- ↑ a b Herstein 1968 , Teorema 1.4.5, p. 37.
- ↑ Isaacs, Corolario 14.3, p. 195
Referencias
- EN Herstein (1968). Anillos no conmutativos (1ª ed.). La Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-015-X.
- I. Martin Isaacs (1993). Álgebra, un curso de posgrado (1ª ed.). Brooks / Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.