En matemáticas , una relación de separación es una forma formal de organizar un conjunto de objetos en un círculo no orientado. Se define como una relación cuaternario S ( un , b , c , d ) que satisface ciertos axiomas, que se interpreta como afirmar que una y c separada b de d . [1]
Mientras que un orden lineal dota a un conjunto de un final positivo y un final negativo, una relación de separación olvida no sólo qué extremo es cuál, sino también dónde se ubican los extremos. De esta manera, es un debilitamiento final y adicional de los conceptos de relación de intermediación y orden cíclico . No hay nada más que pueda olvidarse: hasta el sentido relevante de interdefinibilidad, estas tres relaciones son las únicas reducciones no triviales del conjunto ordenado de números racionales . [2]
Solicitud
La separación puede usarse para mostrar que el plano proyectivo real es un espacio completo . La relación de separación fue descrita con axiomas en 1898 por Giovanni Vailati . [3]
- abcd = badc
- abcd = adcb
- abcd ⇒ ¬ acbd
- abcd ∨ acdb ∨ adbc
- abcd ∧ acde ⇒ abde .
La relación de separación de puntos fue escrita AC // BD por HSM Coxeter en su libro de texto The Real Projective Plane . [4] El axioma de continuidad utilizado es "Toda secuencia monótona de puntos tiene un límite". La relación de separación se utiliza para proporcionar definiciones:
- { A n } es monótono ≡ ∀ n > 1
- M es un límite ≡ (∀ n > 2) ∧ (∀ P ⇒ ∃ n ).
Referencias
- ^ Huntington, Edward V. (julio de 1935), "Interrelaciones entre los cuatro tipos principales de orden" (PDF) , Transacciones de la American Mathematical Society , 38 (1): 1-9, doi : 10.1090 / S0002-9947 -1935-1501800-1 , consultado el 8 de mayo de 2011
- ^ Macpherson, H. Dugald (2011), "Una encuesta de estructuras homogéneas" (PDF) , Discrete Mathematics , 311 (15): 1599–1634, doi : 10.1016 / j.disc.2011.01.024 , consultado el 28 de abril de 2011
- ^ Bertrand Russell (1903) Principios de las matemáticas , página 214
- ^ HSM Coxeter (1949) El plano proyectivo real , Capítulo 10: Continuidad, McGraw Hill