Proyecto de construcción

En geometría algebraica , Proj es una construcción análoga a la construcción del espectro de un anillo de esquemas afines , que produce objetos con las propiedades típicas de los espacios proyectivos y variedades proyectivas . La construcción, aunque no funtorial , es una herramienta fundamental en la teoría de esquema .

Podemos definir una topología , llamada topología de Zariski , definiendo los conjuntos cerrados como aquellos de la forma ${\ Displaystyle \ operatorname {Proj} S}$

donde es un ideal homogéneo de . Como en el caso de los esquemas afines, se verifica rápidamente que forman los conjuntos cerrados de una topología . ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle V (a)}$ ${\ Displaystyle X}$

De hecho, si somos una familia de ideales, entonces tenemos y si el conjunto de indexación I es finito, entonces . ${\ Displaystyle (a_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ textstyle \ bigcap V (a_ {i}) = V \ left (\ sum a_ {i} \ right)}$ ${\ textstyle \ bigcup V (a_ {i}) = V \ left (\ prod a_ {i} \ right)}$

Una abreviatura común es denotar por , donde es el ideal generado por . Para cualquier ideal , los conjuntos y son complementarios y, por lo tanto, la misma prueba que antes muestra que los conjuntos forman una topología en . La ventaja de este enfoque es que los conjuntos , donde los rangos sobre todos los elementos homogéneos del anillo , forman una base para esta topología, que es una herramienta indispensable para el análisis de , al igual que el hecho análogo para el espectro de un anillo es igualmente indispensable. ${\ Displaystyle D (Sf)}$ ${\ Displaystyle D (f)}$ ${\ Displaystyle Sf}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle D (a)}$ ${\ Displaystyle V (a)}$ ${\ Displaystyle D (a)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Proj} S}$ ${\ Displaystyle D (f)}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Proj} S}$