Desigualdad de Shapiro

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Supongamos que es un número natural y son números positivos y:${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$

donde .${\ Displaystyle x_ {n + 1} = x_ {1}, x_ {n + 2} = x_ {2}}$

Para valores mayores, la desigualdad no se cumple y el límite inferior estricto es con .${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ gamma {\ frac {n} {2}}}$${\ Displaystyle \ gamma \ approx 0.9891 \ dots}$

Las pruebas iniciales de la desigualdad en los casos fundamentales (Godunova y Levin, 1976) y (Troesch, 1989) se basan en cálculos numéricos. En 2002, PJ Bushell y JB McLeod publicaron una prueba analítica de  .${\ Displaystyle n = 12}$${\ Displaystyle n = 23}$${\ Displaystyle n = 12}$

El valor de fue determinado en 1971 por Vladimir Drinfeld . Específicamente, demostró que el límite inferior estricto está dado por , donde la función es el casco convexo de y . (Es decir, la región por encima de la gráfica de es el casco convexo de la unión de las regiones por encima de las gráficas de ' y ). ^[2]${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ psi (0)}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle f (x) = e ^ {- x}}$${\ Displaystyle g (x) = {\ frac {2} {e ^ {x} + e ^ {\ frac {x} {2}}}}}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$

Los mínimos locales interiores del lado izquierdo son siempre (Nowosad, 1968).${\ Displaystyle \ geq {\ frac {n} {2}}}$

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