En matemáticas , el teorema de Sharkovskii , que lleva el nombre de Oleksandr Mykolaiovych Sharkovskii , quien lo publicó en 1964, es un resultado sobre sistemas dinámicos discretos . [1] Una de las implicaciones del teorema es que si un sistema dinámico discreto en la línea real tiene un punto periódico del período 3, entonces debe tener puntos periódicos de cada dos períodos.
Declaración
Por algún intervalo , suponga
es una función continua . Decimos que el número x es un punto periódico del período m si f m ( x ) = x (donde f m denota la composición de m copias de f ) y que tiene el período mínimo m si además f k ( x ) ≠ x para todos 0 < k < m . Nos interesan los posibles períodos de puntos periódicos de f . Considere el siguiente orden de los enteros positivos :
Consiste en:
- los números impares en orden creciente,
- 2 veces las probabilidades en orden creciente,
- 4 veces las probabilidades en orden creciente,
- 8 veces las probabilidades,
- etc.
- al final ponemos las potencias de dos en orden decreciente.
Este orden es un orden total (cada entero positivo aparece exactamente una vez en algún lugar de esta lista), pero no un orden correcto (por ejemplo, no hay una potencia "más temprana" de 2).
Estados teorema de sarkovskii que si f tiene un punto periódico de menos período m , y m precede n en el ordenamiento anterior, entonces f tiene también un punto periódico de menos tiempo n .
Como consecuencia, vemos que si f tiene solo un número finito de puntos periódicos, entonces todos deben tener períodos que sean potencias de dos. Además, si hay un punto periódico del período tres, entonces hay puntos periódicos de todos los demás períodos.
El teorema de Sharkovskii no establece que haya ciclos estables de esos períodos, solo que hay ciclos de esos períodos. Para sistemas como el mapa logístico , el diagrama de bifurcación muestra un rango de valores de parámetros para los cuales aparentemente el único ciclo tiene el período 3. De hecho, debe haber ciclos de todos los períodos allí, pero no son estables y por lo tanto no son visibles en el imagen generada por computadora.
El supuesto de continuidad es importante, ya que la función lineal discontinua por partes definido como:
para el cual cada valor tiene un período 3, de lo contrario sería un contraejemplo.
Análogamente esencial es la suposición de siendo definido en un intervalo - de lo contrario , que se define en números reales excepto uno: para el cual todo valor distinto de cero tiene un período 3, sería un contraejemplo.
Generalizaciones
Sharkovskii también demostró el teorema inverso: todo conjunto superior del orden anterior es el conjunto de períodos para alguna función continua desde un intervalo a sí mismo. De hecho, todos estos conjuntos de períodos se logran mediante la familia de funciones, por , excepto por el conjunto vacío de períodos que se logra mediante , . [2] [3]
Tien-Yien Li y James A. Yorke demostraron en 1975 que no solo la existencia de un ciclo de período 3 implica la existencia de ciclos de todos los períodos, sino que además implica la existencia de una infinitud incontable de puntos que nunca se asignan a cualquier ciclo ( puntos caóticos ): una propiedad conocida como período tres implica caos . [4]
El teorema de Sharkovskii no se aplica inmediatamente a sistemas dinámicos en otros espacios topológicos. Es fácil encontrar un mapa circular con puntos periódicos del período 3 únicamente: tome una rotación de 120 grados, por ejemplo. Pero son posibles algunas generalizaciones, que normalmente involucran al grupo de clases de mapeo del espacio menos una órbita periódica. Por ejemplo, Peter Kloeden demostró que el teorema de Sharkovskii es válido para las asignaciones triangulares, es decir, las asignaciones para las que el componente f i depende sólo de los primeros i componentes x 1 , ..., x i . [5]
Referencias
- ↑ Sharkovskii, AN (1964). "Coexistencia de ciclos de un mapeo continuo de la línea en sí misma". Matemáticas ucranianas. J . 16 : 61–71.
- ^ Alsedà, L .; Llibre, J .; Misiurewicz, M. (2000). Dinámica combinatoria y entropía en dimensión uno . Compañía Editorial Científica Mundial. ISBN 978-981-02-4053-0.
- ^ Burns, K .; Hasselblatt, B. (2011). "El teorema de Sharkovsky: una prueba directa natural". American Mathematical Monthly . 118 (3): 229–244. CiteSeerX 10.1.1.216.784 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.03.229 . S2CID 15523008 .
- ^ Li, TY; Yorke, JA (1975). "El período tres implica el caos". American Mathematical Monthly . 82 (10): 985–992. Código Bibliográfico : 1975AmMM ... 82..985L . doi : 10.1080 / 00029890.1975.11994008 . JSTOR 2318254 .
- ^ Kloeden, PE (1979). "En el ciclo de ordenación de la convivencia de Sharkovsky" . Toro. Austral. Matemáticas. Soc . 20 (2): 171-178. doi : 10.1017 / S0004972700010819 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Sharkovskys" . MathWorld .
- Teorema de Sharkovskii en PlanetMath .
- Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- Misiurewicz, Michal. "Observaciones sobre el teorema de Sharkovsky". The American Mathematical Monthly , vol. 104, núm. 9 (noviembre de 1997), págs. 846-847. Cite journal requiere
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( ayuda ) - Keith Burns y Boris Hasselblatt, El teorema de Sharkovsky: una demostración directa natural