En matemáticas , un conjunto superior (también llamado conjunto cerrado hacia arriba , un trastorno o un conjunto isotónico en X [1] ) de un conjunto parcialmente ordenado ( X , ≤) es un subconjunto S ⊆ X con la siguiente propiedad: si s está en S y si x en X es mayor que s (es decir, si s ≤ x ), entonces x es en S . En palabras, esto significa que cualquier elemento x deX que es ≥ para algún elemento de S es necesariamente también un elemento de S . El término conjunto inferior (también llamado un conjunto cerrado hacia abajo , hacia abajo conjunto , la disminución de conjunto , segmento inicial , o semi-ideales ) se define de manera similar como un subconjunto S de X con la propiedad de que cualquier elemento x de X que es ≤ para algunos elemento de S es necesariamente también un elemento de S .
Definición
Dejar ser un conjunto preordenado y dejarUn conjunto superior , también llamado conjunto cerrado hacia arriba , un malestar o un conjunto isotónico , en[1] de un conjunto reservado es un subconjunto tal que si y si satisface luego Es decir, satisface:
- para todos y todo Si luego
La noción dual es un conjunto inferior (también llamado conjunto cerrado hacia abajo , conjunto hacia abajo , conjunto decreciente , segmento inicial o semi-ideal ), que es un subconjunto tal que si y si satisface luego Es decir, satisface:
- para todos y todo Si luego
Los términos orden ideal o ideal se utilizan a veces como sinónimos de conjunto inferior. [2] [3] [4] Esta elección de terminología no refleja la noción de un ideal de una red porque un conjunto inferior de una red no es necesariamente una subred. [2]
Propiedades
- Cada conjunto parcialmente ordenado es un conjunto superior de sí mismo.
- La intersección y la unión de conjuntos superiores es nuevamente un conjunto superior.
- El complemento de cualquier conjunto superior es un conjunto inferior y viceversa.
- Dado un conjunto parcialmente ordenado ( X , ≤), la familia de conjuntos superiores de X ordenados con la relación de inclusión es un retículo completo , el retículo del conjunto superior .
- Dado un subconjunto arbitrario Y de un conjunto X parcialmente ordenado , el conjunto superior más pequeño que contiene Y se denota usando una flecha hacia arriba como ↑ Y (ver cierre superior y cierre inferior ).
- Dually, el conjunto más pequeño inferior que contiene Y se denota mediante una flecha hacia abajo como ↓ Y .
- Un conjunto inferior se llama principal de si es de la forma ↓ { x } donde x es un elemento de X .
- Cada conjunto inferior Y de un finito parcialmente ordenado conjunto X es igual al conjunto más pequeño inferior que contiene todos los elementos máximos de Y : Y = ↓ Max ( Y ) donde Max ( Y ) denota el conjunto que contiene los elementos máximas de Y .
- Un conjunto inferior dirigido se denomina ideal de orden .
- Los elementos mínimos de cualquier conjunto superior forman un antichain .
- A la inversa, cualquier antichain A determina un conjunto superior { x : x ≥ y para alguna y en A }. Para órdenes parciales que satisfacen la condición de cadena descendente, esta correspondencia entre antichains y conjuntos superiores es 1-1, pero para órdenes parciales más generales esto no es cierto.
Cierre superior y cierre inferior
Dado un elemento de un conjunto parcialmente ordenado definimos el cierre superior o cierre hacia arriba de denotado por o es definido por:
mientras que el cierre inferior o cierre hacia abajo de x , denotado por o es definido por:
Los conjuntos y son, respectivamente, los conjuntos superior e inferior más pequeños que contienen como elemento. De manera más general, dado un subconjuntodefinir el cierre superior / ascendente y los cierres inferior / descendente de A , denotado por y respectivamente, como
- y
De esta manera, ↑ x = ↑ { x } y ↓ x = ↓ { x }, donde los conjuntos superiores e inferiores de esta forma se denominan principales . Los cierres superiores e inferiores de un conjunto son, respectivamente, el conjunto superior e inferior más pequeños que lo contienen.
Los cierres superior e inferior, cuando se consideran una función del conjunto de potencia de X hacia sí mismo, son ejemplos de operadores de cierre, ya que satisfacen todos los axiomas de cierre de Kuratowski . Como resultado, el cierre superior de un conjunto es igual a la intersección de todos los conjuntos superiores que lo contienen, y de manera similar para los conjuntos inferiores. De hecho, este es un fenómeno general de los operadores de cierres. Por ejemplo, el cierre topológico de un conjunto es la intersección de todos los conjuntos cerrados que lo contienen; el lapso de un conjunto de vectores es la intersección de todos los subespacios que lo contienen; el subgrupo generado por un subconjunto de un grupo es la intersección de todos los subgrupos que lo contienen; el ideal generado por un subconjunto de un anillo es la intersección de todos los ideales que lo contienen; y así.
También se puede hablar del estricto cierre superior de un elemento.definido como { y ∈ X : x < y }, y más generalmente, el cierre superior estricto de un subconjuntoque se define como la unión de los cierres superiores estrictos de sus elementos, y podemos hacer definiciones análogas para los cierres inferiores estrictos. Sin embargo, tenga en cuenta que estos 'cierres' no son en realidad operadores de cierre, ya que, por ejemplo, el cierre superior estricto de un conjunto singleton { x } no contiene { x }.
Números ordinales
Un número ordinal generalmente se identifica con el conjunto de todos los números ordinales más pequeños. Por tanto, cada número ordinal forma un conjunto inferior en la clase de todos los números ordinales, que están totalmente ordenados por inclusión de conjuntos.
Ver también
- Conjunto cofinal : un subconjunto U de un conjunto parcialmente ordenado ( X , ≤) que contiene para cada elementoalgún elemento y tal que
Referencias
- ↑ a b Dolecki y Mynard , 2016 , págs. 27-29.
- ^ a b Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002). Introducción a las celosías y el orden (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 20, 44. ISBN 0-521-78451-4. LCCN 2001043910 .
- ^ Stanley, RP (2002). Combinatoria enumerativa . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. 1 . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 100. ISBN 978-0-521-66351-9.
- ^ Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales . World Scientific. pag. 22 . ISBN 978-981-02-3316-7.
- Blanck, J. (2000). "Representaciones de dominio de espacios topológicos" (PDF) . Informática Teórica . 247 (1–2): 229–255. doi : 10.1016 / s0304-3975 (99) 00045-6 .
- Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
- Hoffman, KH (2001), Los axiomas de baja separación (T 0 ) y (T 1 )