En el análisis numérico , el método de disparo es un método para resolver un problema de valor límite reduciéndolo al sistema de un problema de valor inicial . En términos generales, "disparamos" trayectorias en diferentes direcciones hasta que encontramos una trayectoria que tiene el valor límite deseado. La siguiente exposición puede aclararse con esta ilustración del método de disparo .
Para un problema de valor en la frontera de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden , el método se establece de la siguiente manera. Dejar
ser el problema del valor límite. Sea y ( t ; a ) la solución del problema de valor inicial
Defina la función F ( a ) como la diferencia entre y ( t 1 ; a ) y el valor límite especificado y 1 .
Si F tiene una raíz a, entonces la solución y ( t ; a ) del problema de valor inicial correspondiente también es una solución del problema de valor en la frontera. Por el contrario, si el problema del valor en la frontera tiene una solución y ( t ), entonces y ( t ) también es la única solución y ( t ; a ) del problema del valor inicial donde a = y '( t 0 ), entonces a es raíz del F .
Aquí se pueden emplear los métodos habituales para encontrar raíces, como el método de bisección o el método de Newton .
Origen del término
El término "método de disparo" tiene su origen en la artillería. Al disparar un cañón hacia un objetivo, el primer disparo se dispara en la dirección general del objetivo. Si la bala de cañón golpea demasiado a la derecha, el cañón se apunta un poco hacia la izquierda para el segundo disparo y viceversa. De esta manera, las balas de cañón impactarán cada vez más cerca del objetivo.
Método de disparo lineal
El problema del valor de frontera es lineal si f tiene la forma
En este caso, la solución al problema del valor en la frontera suele estar dada por:
dónde es la solución al problema del valor inicial:
y es la solución al problema del valor inicial:
Consulte la prueba para conocer las condiciones precisas en las que se mantiene este resultado.
Ejemplo
Un problema de contorno se da como sigue por Stoer y Bulirsch [1] (Sección 7.3.1).
se resolvió para s = −1, −2, −3, ..., −100 y F ( s ) = w (1; s ) - 1 representado en la primera figura. Al inspeccionar la gráfica de F , vemos que hay raíces cerca de −8 y −36. Algunas trayectorias de w ( t ; s ) se muestran en la segunda figura.
Stoer y Bulirsch [1] afirman que hay dos soluciones, que se pueden encontrar mediante métodos algebraicos. Estos corresponden a las condiciones iniciales w ′ (0) = −8 y w ′ (0) = −35,9 (aproximadamente).
Ver también
Notas
Referencias
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 18.1. El método de disparo" . Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
enlaces externos
- Breve descripción de ODEPACK (en Netlib ; contiene LSODE)
- Método de disparo para resolver problemas de valores límite: Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica en el Holistic Numerical Methods Institute [1]