El triángulo de Sierpiński (a veces escrito Sierpinski ), también llamado junta de Sierpiński o tamiz de Sierpiński , es un conjunto fijo atractivo fractal con la forma general de un triángulo equilátero , subdividido recursivamente en triángulos equiláteros más pequeños. Construido originalmente como una curva, este es uno de los ejemplos básicos de conjuntos autosimilares , es decir, es un patrón generado matemáticamente que es reproducible con cualquier aumento o reducción. Lleva el nombre del matemático polaco Wacław Sierpiński, pero apareció como patrón decorativo muchos siglos antes del trabajo de Sierpiński.
El triángulo de Sierpinski se puede construir a partir de un triángulo equilátero mediante la eliminación repetida de subconjuntos triangulares:
La misma secuencia de formas, que convergen en el triángulo de Sierpinski, puede generarse alternativamente mediante los siguientes pasos:
Tenga en cuenta que este proceso infinito no depende de que la forma inicial sea un triángulo, simplemente es más claro de esa manera. Los primeros pasos que parten, por ejemplo, de un cuadrado también tienden hacia un triángulo de Sierpinski. Michael Barnsley usó una imagen de un pez para ilustrar esto en su artículo "Fractales y superfractales de variable V". [2] [3]
El fractal real es lo que se obtendría después de un número infinito de iteraciones. Más formalmente, uno lo describe en términos de funciones en conjuntos cerrados de puntos. Si hacemos que d A denote la dilatación por un factor de 1/2 sobre un punto A, entonces el triángulo de Sierpinski con esquinas A, B y C es el conjunto fijo de la transformación d A ∪ d B ∪ d C .
Triángulo de Sierpiński
Generado usando un algoritmo aleatorio
Triángulo de Sierpiński en lógica: Las primeras 16 conjunciones de argumentos ordenados lexicográficamente . Las columnas interpretadas como números binarios dan 1, 3, 5, 15, 17, 51... (secuencia A001317 en el OEIS )
La evolución del triángulo de Sierpinski
Iterando desde un cuadrado
Creación animada de un triángulo de Sierpinski usando el juego del caos
Construcción animada de un triángulo de Sierpinski
Un Triángulo de Sierpinski está delineado por un árbol fractal con tres ramas que forman un ángulo de 120° y se separan en los puntos medios. Si se reduce el ángulo, el triángulo se puede transformar continuamente en un fractal parecido a un árbol.
Cada subtriángulo de la n -ésima iteración del triángulo determinista de Sierpinski tiene una dirección en un árbol con n niveles (si n =∞ entonces el árbol también es un fractal); T=arriba/centro, L=izquierda, R=derecha, y estas secuencias pueden representar tanto la forma determinista como "una serie de movimientos en el juego del caos" [5]
Triángulo de Sierpinski usando un sistema de funciones iteradas
Construcción de punta de flecha animada de la junta de Sierpinski
Construcción de punta de flecha de la junta de Sierpinski
Una aproximación de nivel 5 a un triángulo de Sierpinski obtenida al sombrear los primeros 2 5 (32) niveles de un triángulo de Pascal en blanco si el coeficiente binomial es par y en negro en caso contrario
Progresión recursiva de la pirámide de Sierpinski (7 pasos)
Una pirámide con base de triángulo de Sierpiński vista desde arriba (4 secciones principales resaltadas). Tenga en cuenta la autosimilitud en esta vista proyectada bidimensional, de modo que el triángulo resultante podría ser un fractal 2D en sí mismo.
Animación de un tetrix giratorio de nivel 4 que muestra cómo algunas proyecciones ortográficas de un tetrix pueden llenar un plano: en este SVG interactivo , muévase hacia la izquierda y hacia la derecha sobre el tetrix para rotar el modelo 3D
