En matemáticas , la firma ( v , p , r ) de un tensor métrico g (o de manera equivalente, una forma cuadrática real pensada como una forma bilineal simétrica real en un espacio vectorial de dimensión finita ) es el número (contado con multiplicidad) de Valores propios positivos, negativos y nulos de la matriz simétrica real g ab del tensor métrico con respecto a una base . En física relativista , la v representa la dimensión temporal o virtual, y la p la dimensión espacial y física. Alternativamente, se puede definir como las dimensiones de un subespacio máximo positivo y nulo . Por la ley de inercia de Sylvester, estos números no dependen de la elección de la base. La firma clasifica así la métrica hasta una elección de base. La firma a menudo se indica mediante un par de números enteros ( v , p ) que implican r = 0, o como una lista explícita de signos de valores propios como (+, −, −, −) o (−, +, +, +) para las firmas (1, 3, 0) y (3, 1, 0) , respectivamente.[1]
Se dice que la firma es indefinida o mixta si tanto v como p son distintos de cero, y degenerada si r es distinto de cero. Una métrica de Riemann es una métrica con una firma definida positiva ( v , 0) . Una métrica lorentziana es una métrica con firma ( p , 1) o (1, p ) .
Hay otra noción de firma de un tensor métrico no degenerado dado por un solo número s definido como ( v − p ) , donde v y p son como arriba, que es equivalente a la definición anterior cuando se da la dimensión n = v + p o implícito. Por ejemplo, s = 1 − 3 = −2 para (+, −, −, −) y su reflejo s' = − s = +2 para (−, +, +, +) .
La firma de un tensor métrico se define como la firma de la forma cuadrática correspondiente . [2] Es el número ( v , p , r ) de valores propios positivos y cero de cualquier matriz (es decir, en cualquier base para el espacio vectorial subyacente) que representa la forma, contados con sus multiplicidades algebraicas . Por lo general, se requiere r = 0 , que es lo mismo que decir que un tensor métrico debe ser no degenerado, es decir, ningún vector distinto de cero es ortogonal a todos los vectores.
Por el teorema espectral, una matriz simétrica n × n sobre los reales siempre es diagonalizable y, por lo tanto, tiene exactamente n valores propios reales (contados con multiplicidad algebraica ). Así v + p = n = dim( V ) .
De acuerdo con la ley de inercia de Sylvester , la firma del producto escalar (también conocida como forma bilineal simétrica real), g no depende de la elección de la base. Además, para cada métrica g de firma ( v , p , r ) existe una base tal que g ab = +1 para a = b = 1, ..., v , g ab = −1 para a = b = v + 1, ..., v + p y g ab= 0 en caso contrario. De ello se deduce que existe una isometría ( V 1 , g 1 ) → ( V 2 , g 2 ) si y sólo si las firmas de g 1 y g 2 son iguales. Asimismo, la firma es igual para dos matrices congruentes y clasifica una matriz hasta la congruencia. De manera equivalente, la firma es constante en las órbitas del grupo lineal general GL( V ) en el espacio de tensores contravariantes de rango 2 simétrico S 2 V ∗ y clasifica cada órbita.