En matemáticas , dos matrices cuadradas A y B sobre un campo se llaman congruentes si existe una matriz P invertible sobre el mismo campo tal que
- P T AP = B
donde "T" denota la matriz transpuesta . La congruencia de la matriz es una relación de equivalencia .
La congruencia de matrices surge cuando se considera el efecto del cambio de base en la matriz de Gram adjunta a una forma bilineal o cuadrática en un espacio vectorial de dimensión finita : dos matrices son congruentes si y solo si representan la misma forma bilineal con respecto a diferentes bases .
Note que Halmos define la congruencia en términos de transposición conjugada (con respecto a un espacio de producto interno complejo ) en lugar de transponer, [1] pero esta definición no ha sido adoptada por la mayoría de los otros autores.
Congruencia sobre los reales
La ley de inercia de Sylvester establece que dos matrices simétricas congruentes con entradas reales tienen el mismo número de valores propios positivos, negativos y cero . Es decir, el número de valores propios de cada signo es invariante de la forma cuadrática asociada. [2]
Ver también
Referencias
- ^ Halmos, Paul R. (1958). Espacios vectoriales de dimensión finita . van Nostrand . pag. 134.
- ^ Sylvester, JJ (1852). "Una demostración del teorema de que todo polinomio cuadrático homogéneo es reducible mediante sustituciones ortogonales reales a la forma de una suma de cuadrados positivos y negativos" (PDF) . Revista Filosófica . IV : 138-142 . Consultado el 30 de diciembre de 2007 .
- Gruenberg, KW; Weir, AJ (1967). Geometría lineal . van Nostrand. pag. 80.
- Hadley, G. (1961). Álgebra lineal . Addison-Wesley . pag. 253 .
- Herstein, IN (1975). Temas de álgebra . Wiley . pag. 352 . ISBN 0-471-02371-X.
- Mirsky, L. (1990). Introducción al álgebra lineal . Publicaciones de Dover . pag. 182. ISBN 0-486-66434-1.
- Marcus, Marvin; Minc, Henryk (1992). Un estudio de la teoría de matrices y las desigualdades de matrices . Publicaciones de Dover. pag. 81. ISBN 0-486-67102-X.
- Norman, CW (1986). Álgebra de pregrado . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 354. ISBN 0-19-853248-2.