En el campo matemático de la geometría diferencial , la fórmula de Simons (también conocida como la identidad de Simons , y en algunas variantes como la desigualdad de Simons ) es una ecuación fundamental en el estudio de las subvariedades mínimas . Fue descubierto por James Simons en 1968. [1] Puede verse como una fórmula para el laplaciano de la segunda forma fundamental de una subvariedad de Riemann . A menudo se cita y se usa en la forma menos precisa de una fórmula o desigualdad para el laplaciano de la longitud de la segunda forma fundamental.
donde, en relación con una elección local de campo vectorial normal unitario, h es la segunda forma fundamental , H es la curvatura media y h 2 es el tensor 2 simétrico en M dado por h2
ij= g pq h ip h qj . [2]
Esto tiene como consecuencia que
las únicas herramientas involucradas son la ecuación de Codazzi (igualdades # 2 y 4), la ecuación de Gauss (igualdad # 4) y la identidad de conmutación para la diferenciación covariante (igualdad # 3). El caso más general de una hipersuperficie en una variedad de Riemann requiere términos adicionales relacionados con el tensor de curvatura de Riemann . [4] En el escenario aún más general de codimensión arbitraria, la fórmula implica un polinomio complicado en la segunda forma fundamental. [5]