En geometría diferencial , la segunda forma fundamental (o tensor de forma ) es una forma cuadrática en el plano tangente de una superficie lisa en el espacio euclidiano tridimensional , generalmente denotado por(lea "dos"). Junto con la primera forma fundamental , sirve para definir invariantes extrínsecos de la superficie, sus principales curvaturas . De manera más general, dicha forma cuadrática se define para una subvariedad sumergida suave en una variedad de Riemann .
Superficie en R 3
Motivación
La segunda forma fundamental de una superficie paramétrica S en R 3 fue introducida y estudiada por Gauss . Primero suponga que la superficie es la gráfica de una función diferenciable dos veces continuamente , z = f ( x , y ) , y que el plano z = 0 es tangente a la superficie en el origen. Entonces F y sus derivadas parciales con respecto a x e y desaparecen en (0,0). Por lo tanto, la expansión de Taylor de f en (0,0) comienza con términos cuadráticos:
y la segunda forma fundamental en el origen en las coordenadas ( x , y ) es la forma cuadrática
Para un punto suave P en S , se puede elegir el sistema de coordenadas de modo que el plano z de coordenadas sea tangente a S en P y definir la segunda forma fundamental de la misma manera.
Notación clásica
La segunda forma fundamental de una superficie paramétrica general se define como sigue. Sea r = r ( u , v ) una parametrización regular de una superficie en R 3 , donde r es una función uniforme de dos variables con valores vectoriales . Es común denotar las derivadas parciales de r con respecto a u y v por r u y r v . La regularidad de la parametrización significa que r u y r v son linealmente independientes para cualquier ( u , v ) en el dominio de r , y por lo tanto abarcan el plano tangente a S en cada punto. De manera equivalente, el producto cruzado r u × r v es un vector distinto de cero normal a la superficie. La parametrización define así un campo de vectores unitarios normales n :
La segunda forma fundamental generalmente se escribe como
su matriz en la base { r u , r v } del plano tangente es
Los coeficientes L , M , N en un punto dado del plano uv paramétrico están dados por las proyecciones de las segundas derivadas parciales de r en ese punto sobre la línea normal a S y se pueden calcular con la ayuda del producto escalar como sigue:
Para un campo de distancia con signo de Hessiano H , los coeficientes de la segunda forma fundamental se pueden calcular de la siguiente manera:
Notación del físico
La segunda forma fundamental de una superficie paramétrica general S se define como sigue.
Sea r = r ( u 1 , u 2 ) una parametrización regular de una superficie en R 3 , donde r es una función uniforme de dos variables con valores vectoriales . Es común denotar las derivadas parciales de r con respecto a u α por r α , α = 1, 2 . La regularidad de la parametrización significa que r 1 y r 2 son linealmente independientes para cualquier ( u 1 , u 2 ) en el dominio de r , y por lo tanto abarcan el plano tangente a S en cada punto. De manera equivalente, el producto cruzado r 1 × r 2 es un vector distinto de cero normal a la superficie. La parametrización define así un campo de vectores unitarios normales n :
La segunda forma fundamental generalmente se escribe como
La ecuación anterior usa la convención de suma de Einstein .
Los coeficientes b αβ en un punto dado del plano paramétrico u 1 u 2 están dados por las proyecciones de las segundas derivadas parciales de r en ese punto sobre la recta normal a S y se pueden calcular en términos del vector normal n como sigue:
Hiperesuperficie en una variedad riemanniana
En el espacio euclidiano , la segunda forma fundamental está dada por
donde ν es el mapa de Gauss , y dν el diferencial de ν considerado como una forma diferencial de valores vectoriales , y los corchetes denotan el tensor métrico del espacio euclidiano.
De manera más general, en una variedad de Riemann, la segunda forma fundamental es una forma equivalente de describir el operador de forma (denotado por S ) de una hipersuperficie,
donde ∇ v w denota la derivada covariante de la variedad ambiental yn un campo de vectores normales en la hipersuperficie. (Si la conexión afín está libre de torsión , entonces la segunda forma fundamental es simétrica).
El signo de la segunda forma fundamental depende de la elección de la dirección de n (que se denomina coorientación de la hipersuperficie; para las superficies en el espacio euclidiano, esto viene dado de manera equivalente por la elección de la orientación de la superficie).
Generalización a codimensión arbitraria
La segunda forma fundamental se puede generalizar a codimensión arbitraria . En ese caso, es una forma cuadrática en el espacio tangente con valores en el paquete normal y se puede definir por
donde (∇ v w ) ⊥ denota la proyección ortogonal de la derivada covariante ∇ v w sobre el paquete normal.
En el espacio euclidiano , el tensor de curvatura de una subvariedad se puede describir mediante la siguiente fórmula:
Esto se llama ecuación de Gauss , ya que puede verse como una generalización del Theorema Egregium de Gauss .
Para las variedades riemannianas generales, hay que añadir la curvatura del espacio ambiental; si N es una variedad incrustada en una variedad de Riemann ( M , g ), entonces el tensor de curvatura R N de N con métrica inducida se puede expresar usando la segunda forma fundamental y R M , el tensor de curvatura de M :
Ver también
- Primera forma fundamental
- Curvatura gaussiana
- Ecuaciones de Gauss-Codazzi
- Operador de forma
- Tercera forma fundamental
- Una forma tautológica
Referencias
- Guggenheimer, Heinrich (1977). "Capítulo 10. Superficies". Geometría diferencial . Dover. ISBN 0-486-63433-7.
- Kobayashi, Shoshichi y Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 2 (Nueva ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
- Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 3) . Publicar o perecer. ISBN 0-914098-72-1.
enlaces externos
- Steven Verpoort (2008) Geometría de la segunda forma fundamental: propiedades de curvatura y aspectos de variación de Katholieke Universiteit Leuven .