Pregavilla simple

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En matemáticas, más específicamente en la teoría de la homotopía , un presheaf simplicial es un presheaf en un sitio (por ejemplo, la categoría de espacios topológicos ) que toma valores en conjuntos simpliciales (es decir, un funtor contravariante del sitio a la categoría de conjuntos simpliciales). De manera equivalente, una pregavilla simplicial es un objeto simplicial en la categoría de pregavillas en un sitio. La noción fue introducida por A. Joyal en la década de 1970. ^[1] De manera similar, una gavilla simplicial en un sitio es un objeto simplicial en la categoría de gavillas en el sitio. ^[2]

Ejemplo: Considere el sitio étale de un esquema S . Cada U en el sitio representa la pregavilla . Así, un esquema simplicial , un objeto simplicial en el sitio, representa un pregavilla simplicial (de hecho, a menudo una gavilla simplicial).${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Hom} (-, U)}$

Ejemplo: Sea G un prehaz de groupoides. Luego, tomando los nervios por secciones, se obtiene una pregavilla simple . Por ejemplo, uno podría establecer . Este tipo de ejemplos aparecen en la teoría K.${\ estilo de visualización BG}$${\displaystyle B\nombre del operador {GL} =\varinjlim B\nombre del operador {GL_{n}} }$

Si es una equivalencia débil local de pregavillas simples, entonces el mapa inducido también es una equivalencia débil local.${\ estilo de visualización f: X \ a Y}$${\displaystyle \mathbb {Z} f:\mathbb {Z} X\to \mathbb {Z} Y}$

Sea F una pregavilla simplicial en un sitio. Las poleas de homotopía de F se definen de la siguiente manera. Para cualquiera en el sitio y un 0-simplex s en F ( X ), establezca y . Luego establecemos que sea la gavilla asociada con la pre-gavilla .${\ estilo de visualización \ pi _ {*} F}$${\ estilo de visualización f: X \ a Y}$${\displaystyle (\pi_{0}^{\text{pr}}F)(X)=\pi_{0}(F(X))}$${\displaystyle (\pi_{i}^{\text{pr}}(F,s))(f)=\pi_{i}(F(Y),f^{*}(s))}$${\ estilo de visualización \ pi _ {i} F}$${\displaystyle \pi_{i}^{\text{pr}}F}$

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