En la teoría de categorías , una disciplina dentro de las matemáticas, el nervio N ( C ) de una pequeña categoría C es un conjunto simplicial construido a partir de los objetos y morfismos de C . La realización geométrica de este conjunto simplicial es un espacio topológico , llamado el espacio clasificador de la categoría C . Estos objetos estrechamente relacionados pueden proporcionar información sobre algunas categorías familiares y útiles utilizando topología algebraica , la mayoría de las veces la teoría de la homotopía .
Motivación
El nervio de una categoría se usa a menudo para construir versiones topológicas de espacios de módulos . Si X es un objeto de C , su espacio de módulos debería codificar de alguna manera todos los objetos isomorfos a X y realizar un seguimiento de los diversos isomorfismos entre todos estos objetos en esa categoría. Esto puede volverse bastante complicado, especialmente si los objetos tienen muchos automorfismos sin identidad. El nervio proporciona una forma combinatoria de organizar estos datos. Dado que los conjuntos simpliciales tienen una buena teoría de homotopía, se pueden hacer preguntas sobre el significado de los diversos grupos de homotopía π n ( N ( C )). Se espera que las respuestas a estas preguntas proporcionen información interesante sobre la categoría C original o sobre categorías relacionadas.
La noción de nervio es una generalización directa de la noción clásica de clasificar el espacio de un grupo discreto; consulte a continuación para obtener más detalles.
Construcción
Sea C una categoría pequeña. Hay un 0-simplex de N ( C ) para cada objeto de C . Hay un 1-simplex para cada morfismo f : x → y en C . Ahora supongamos que f : x → y y g : Y → z son morfismos en C . Entonces también tenemos su composición gf : x → z .
El diagrama sugiere nuestro curso de acción: agregue un 2-simplex para este triángulo conmutativo. Cada 2-simplex de N ( C ) proviene de un par de morfismos componibles de esta manera. La adición de estos 2-simplices no borra ni ignora los morfismos obtenidos por composición, simplemente recuerda que así es como surgen.
En general, N ( C ) k consta de k -tuplas de morfismos componibles
de C . Para completar la definición de N ( C ) como un conjunto simplicial, también debemos especificar los mapas de caras y degeneraciones. Estos también nos los proporciona la estructura de C como categoría. Los mapas faciales
están dados por la composición de morfismos en el i- ésimo objeto (o quitando el i- ésimo objeto de la secuencia, cuando i es 0 o k ). [1] Esto significa que d i envía la k -tupla
a la ( k - 1) -tupla
Es decir, el mapa d i compone los morfismos A i −1 → A i y A i → A i +1 en el morfismo A i −1 → A i +1 , produciendo una ( k - 1) -tupla para cada k -tupla.
Del mismo modo, los mapas de degeneración
se dan insertando un morfismo de identidad en el objeto A i .
Los conjuntos simples también se pueden considerar como functores Δ op → Conjunto , donde Δ es la categoría de conjuntos finitos totalmente ordenados y morfismos que conservan el orden. Cada conjunto parcialmente ordenado P produce una categoría (pequeño) i ( P ) con objetos los elementos de P y con un único morfismo de p a q cuando p ≤ q en P . Obtenemos así un funtor i de la categoría Δ a la categoría de categorías pequeñas. Ahora podemos describir el nervio de la categoría C como el functor Δ op → Set
Esta descripción del nervio hace que la functorialidad sea transparente; por ejemplo, un funtor entre las categorías pequeñas C y D induce un mapa de conjuntos simpliciales N ( C ) → N ( D ). Además, una transformación natural entre dos de estos functores induce una homotopía entre los mapas inducidos. Esta observación puede considerarse como el comienzo de uno de los principios de la teoría de categorías superiores . De ello se deduce que los functores adjuntos inducen equivalencias de homotopía . En particular, si C tiene un objeto inicial o final , su nervio es contráctil.
Ejemplos de
El ejemplo primordial es el espacio clasificador de un grupo discreto G . Consideramos G como una categoría con un objeto cuya endomorfismos son los elementos de G . Entonces el k -simplices de N ( G ) son sólo k -tuplas de elementos de G . Los mapas faciales actúan por multiplicación y los mapas de degeneración actúan por inserción del elemento de identidad. Si G es el grupo con dos elementos, entonces hay exactamente un k -simplex no degenerado para cada entero k no negativo , correspondiente a la k -tupla única de elementos de G que no contienen identidades. Después de pasar a la realización geométrica, esta tupla k puede identificarse con la celda k única en la estructura CW habitual en el espacio proyectivo real de dimensión infinita . Este último es el modelo más popular para el espacio de clasificación del grupo con dos elementos. Ver (Segal 1968) para más detalles y la relación de lo anterior con la construcción conjunta de Milnor de BG .
La mayoría de los espacios están clasificando espacios
Todo espacio topológico "razonable" es homeomórfico al espacio de clasificación de una categoría pequeña. Aquí, "razonable" significa que el espacio en cuestión es la realización geométrica de un conjunto simple. Obviamente, esta es una condición necesaria; también es suficiente. Antes bien, sea X sea la realización geométrica de un conjunto simplicial K . El conjunto de simples en K está parcialmente ordenado, por la relación x ≤ y si y solo si x es una cara de y . Podemos considerar este conjunto parcialmente ordenado como una categoría. El nervio de esta categoría es la subdivisión baricéntrica de K , y por tanto su realización es homeomorfa a X , porque X es la realización de K por hipótesis y la subdivisión baricéntrica no cambia el tipo de homeomorfismo de la realización.
El nervio de una cubierta abierta
Si X es un espacio topológico con cubierta abierta U i , el nervio de la cubierta se obtiene de las definiciones anteriores reemplazando la cubierta con la categoría obtenida al considerar la cubierta como un conjunto parcialmente ordenado con relación a la de inclusión del conjunto. Tenga en cuenta que la realización de este nervio generalmente no es homeomórfica para X (o incluso homotopía equivalente).
Un ejemplo de moduli
Se puede utilizar la construcción del nervio para recuperar espacios cartográficos e incluso obtener información "homotópica superior" sobre los mapas. Deje que D sea una categoría, y dejar que X e Y sean objetos de D . Uno está interesado a menudo en el cálculo de la conjunto de morfismos X → Y . Podemos utilizar una construcción nerviosa para recuperar este conjunto. Sea C = C ( X , Y ) la categoría cuyos objetos son diagramas
de tal manera que los morfismos T → X y Y → V son isomorfismos en D . Los morfismos en C ( X , Y ) son diagramas de la siguiente forma:
Aquí, los mapas indicados deben ser isomorfismos o identidades. El nervio de C ( X , Y ) es el espacio de módulos de mapas X → Y . En el apropiado categoría modelo de ajuste, este espacio moduli es débil homotopy equivalente al conjunto simplicial de morfismos de D de X a Y .
Referencias
- ^ La i- ésima cara del simplex es entonces la que falta el i- ésimo vértice.
- Blanc, D., WG Dwyer y PG Goerss. "El espacio de realización de un-álgebra: un problema de módulos en topología algebraica. "Topología 43 (2004), no. 4, 857–892.
- Goerss, PG y MJ Hopkins. " Módulos de espacios de espectros de anillos conmutativos ". Espectros de anillos estructurados , 151-200, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 315, Cambridge Univ. Prensa, Cambridge, 2004.
- Segal, Graeme. "Clasificación de espacios y secuencias espectrales". Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matemáticas. No. 34 (1968) 105–112.
- Nervio en nLab