En integración numérica , las reglas de Simpson son varias aproximaciones para integrales definidas , nombradas en honor a Thomas Simpson (1710-1761).
La más básica de estas reglas, llamada regla 1/3 de Simpson , o simplemente regla de Simpson , dice
Si la regla de 1/3 se aplica a n subdivisiones iguales del rango de integración [ a, b ], se obtiene la regla de Simpson compuesta . Los puntos dentro del rango de integración reciben pesos alternos de 4/3 y 2/3.
La regla 3/8 de Simpson , también llamada segunda regla de Simpson, solicita una evaluación de función más dentro del rango de integración, y es exacta si f es un polinomio hasta un grado cúbico.
Las reglas 1/3 y 3/8 de Simpson son dos casos especiales de fórmulas cerradas de Newton-Cotes .
En la arquitectura naval y la estimación de la estabilidad del barco, también existe la tercera regla de Simpson , que no tiene especial importancia en el análisis numérico general, ver las reglas de Simpson (estabilidad del barco) .
La regla 1/3 de Simpson
Derivaciones
Interpolación cuadrática
Una derivación reemplaza al integrando por el polinomio cuadrático (es decir, parábola) que toma los mismos valores que en los puntos finales y y el punto medio . Se puede usar la interpolación polinomial de Lagrange para encontrar una expresión para este polinomio,
Promedio del punto medio y las reglas trapezoidales
Otra derivación construye la regla de Simpson a partir de dos aproximaciones más simples: la regla del punto medio
Usando otra aproximación (por ejemplo, la regla trapezoidal con el doble de puntos), es posible tomar un promedio ponderado adecuado y eliminar otro término de error. Este es el método de Romberg .
Coeficientes indeterminados
La tercera derivación comienza desde el ansatz
Los coeficientes α, β y γ se pueden fijar requiriendo que esta aproximación sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Esto produce la regla de Simpson.
Error
El error al aproximar una integral por la regla de Simpson para es
dónde (la letra griega xi ) es un número entre y . [2]
El error es asintóticamente proporcional a . Sin embargo, las derivaciones anteriores sugieren un error proporcional a. La regla de Simpson gana un orden adicional porque los puntos en los que se evalúa el integrando se distribuyen simétricamente en el intervalo.
Dado que el término de error es proporcional a la cuarta derivada de a , esto muestra que la regla de Simpson proporciona resultados exactos para cualquier polinomio de grado tres o menos, ya que la cuarta derivada de dicho polinomio es cero en todos los puntos.
Si la segunda derivada existe y es convexo en el intervalo:
Regla compuesta de Simpson
Si el intervalo de integración es en cierto sentido "pequeño", entonces la regla de Simpson con los subintervalos proporcionarán una aproximación adecuada a la integral exacta. Por pequeño, lo que realmente queremos decir es que la función que se está integrando es relativamente suave en el intervalo. Para tal función, un interpolante cuadrático suave como el que se usa en la regla de Simpson dará buenos resultados.
Sin embargo, a menudo ocurre que la función que intentamos integrar no es uniforme en el intervalo. Normalmente, esto significa que la función es muy oscilatoria o carece de derivadas en ciertos puntos. En estos casos, la regla de Simpson puede dar muy malos resultados. Una forma común de manejar este problema es dividiendo el intervalo dentro pequeños subintervalos. Luego, se aplica la regla de Simpson a cada subintervalo, y los resultados se suman para producir una aproximación de la integral a lo largo de todo el intervalo. Este tipo de enfoque se denomina regla de Simpson compuesta .
Suponga que el intervalo se divide en subintervalos, con un número par. Entonces, la regla compuesta de Simpson viene dada por
dónde por con ; En particular, y . Esta regla compuesta con corresponde con la regla de Simpson regular de la sección anterior.
El error cometido por la regla de Simpson compuesta es
dónde es un número entre y y es la "longitud del paso". [3] El error está acotado (en valor absoluto) por
Esta formulación divide el intervalo en subintervalos de igual longitud. En la práctica, a menudo es ventajoso utilizar subintervalos de diferentes longitudes y concentrar los esfuerzos en los lugares donde el integrando se comporta menos bien. Esto conduce al método adaptativo de Simpson .
La regla 3/8 de Simpson
La regla 3/8 de Simpson, también llamada segunda regla de Simpson, es otro método de integración numérica propuesto por Thomas Simpson. Se basa en una interpolación cúbica en lugar de una interpolación cuadrática. La regla 3/8 de Simpson es la siguiente:
Una generalización adicional de este concepto para la interpolación con polinomios de grado arbitrario son las fórmulas de Newton-Cotes .
Regla compuesta de Simpson 3/8
Dividiendo el intervalo dentro subintervalos de longitud e introduciendo los nodos tenemos
Mientras que el resto de la regla se muestra como: [4]
Solo podemos usar esto si es un múltiplo de tres. La regla 1/3 se puede usar para los subintervalos restantes sin cambiar el orden del término de error (a la inversa, la regla 3/8 se puede usar con una regla 1/3 compuesta para subintervalos impares).
Regla de Simpson extendida alternativa
Ésta es otra formulación de una regla de Simpson compuesta: en lugar de aplicar la regla de Simpson a segmentos disjuntos de la integral que se va a aproximar, la regla de Simpson se aplica a segmentos superpuestos, dando como resultado: [5]
La fórmula anterior se obtiene combinando la regla compuesta original de Simpson con la que consiste en usar la regla 3/8 de Simpson en los subintervalos extremos y la regla estándar de 3 puntos en los subintervalos restantes. El resultado se obtiene tomando la media de las dos fórmulas.
Las reglas de Simpson en el caso de picos estrechos
En la tarea de estimación del área completa de funciones estrechas en forma de pico, las reglas de Simpson son mucho menos eficientes que la regla trapezoidal . Es decir, la regla 1/3 compuesta de Simpson requiere 1.8 veces más puntos para lograr la misma precisión [6] que la regla trapezoidal. La regla compuesta de Simpson 3/8 es aún menos precisa. La integral por la regla 1/3 de Simpson se puede representar como una suma de 2/3 de la integral por la regla trapezoidal con el paso hy 1/3 de la integral por la regla del rectángulo con el paso 2h. El promedio de las sumas compuestas de la regla 1/3 de Simpson con marcos correctamente desplazados produce las siguientes reglas:
donde se explotan dos puntos fuera de la región integrada y
Estas reglas son muy similares a la regla extendida alternativa de Simpson de Press. Los coeficientes dentro de la mayor parte de la región que se integran son iguales, las diferencias son solo en los bordes. Estas tres reglas se pueden asociar con la fórmula de Euler-MacLaurin con el primer término derivado y se denominan reglas de integración de Euler-MacLaurin . [6] Solo difieren en cómo se calcula la primera derivada al final de la región.
Regla compuesta de Simpson para datos espaciados irregularmente
Para algunas aplicaciones, el intervalo de integración debe dividirse en intervalos desiguales, tal vez debido a un muestreo desigual de datos o puntos de datos faltantes o dañados. Supongamos que dividimos el intervaloen número parde subintervalos de anchos. Entonces la regla compuesta de Simpson viene dada por [7] [8]
dónde son los valores de la función en el th punto de muestreo en el intervalo .
En caso de número imparde subintervalos , la fórmula anterior se usa hasta el penúltimo intervalo, y el último intervalo se maneja por separado agregando lo siguiente al resultado: [9]
dónde
Implementación de ejemplo en Python |
de la secuencia de importación de collections.abcdef simpson_nonuniform ( x : Sequence [ float ], f : Sequence [ float ]) -> float : "" " Regla de Simpson para datos espaciados irregularmente. : param x: puntos de muestreo para los valores de la función : param f: valores de la función en los puntos de muestreo : retorno: aproximación para la integral Consulte `` scipy.integrate.simpson '' y el subyacente `` _basic_simpson '' para obtener una implementación más eficaz utilizando la transmisión de numpy. "" " N = len ( x ) - 1 h = [ x [ i + 1 ] - x [ i ] para i en el rango ( 0 , N )] afirmar N > 0 resultar = 0,0 para i en gama ( 1 , N , 2 ): h0 , h1 = h [ i - 1 ], h [ i ] hph , hdh , HMH = h1 + h0 , h1 / h0 , h1 * h0 resultado + = ( hph / 6 ) * ( ( 2 - hdh ) * f [ i - 1 ] + ( hph ** 2 / hmh ) * f [ i ] + ( 2 - 1 / hdh ) * f [ i + 1 ] ) si N % 2 == 1 : h0 , h1 = h [ N - 2 ], h [ N - 1 ] resultado + = f [ N ] * ( 2 * h1 ** 2 + 3 * h0 * h1 ) / ( 6 * ( h0 + h1 )) resultado + = f [ N - 1 ] * ( h1 ** 2 + 3 * h1 * h0 ) / ( 6 * h0 ) resultado - = f [ N - 2 ] * h1 ** 3 / ( 6 * h0 * ( h0 + h1 )) devuelve el resultado |
Ver también
Notas
- ^ Atkinson, pág. 256; Süli y Mayers, §7.2
- ↑ Atkinson, ecuación (5.1.15); Süli y Mayers, teorema 7.2
- ^ Atkinson, págs. 257 + 258; Süli y Mayers, §7.5
- ↑ a b Matthews (2004)
- ^ Prensa (1989), p. 122
- ^ a b Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparación de reglas de integración en el caso de picos cromatográficos muy estrechos". Quimiometría y sistemas de laboratorio inteligentes . 179 : 22-30. doi : 10.1016 / j.chemolab.2018.06.001 . ISSN 0169-7439 .
- ^ Kylänpää, Ilkka (2019). Curso de Física Computacional . Universidad de Tampere.
- ^ Shklov, N. (diciembre de 1960). "Regla de Simpson para ordenadas desigualmente espaciadas". The American Mathematical Monthly . 67 (10): 1022. doi : 10.2307 / 2309244 .
- ^ [ cita requerida ] ; podría tener
Referencias
- Atkinson, Kendall E. (1989). Introducción al análisis numérico (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 0-471-50023-2.
- Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas (2000). Análisis numérico (7ª ed.). Brooks / Cole. ISBN 0-534-38216-9.
- Matthews, John H. (2004). "Regla de Simpson 3/8 para la integración numérica" . Proyecto de Análisis Numérico - Métodos Numéricos . Universidad Estatal de California, Fullerton. Archivado desde el original el 4 de diciembre de 2008 . Consultado el 11 de noviembre de 2008 .
- Prensa, William H .; Flannery, Brian P .; Vetterling, William T .; Teukolsky, Saul A. (1989). Recetas numéricas en Pascal: el arte de la informática científica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-37516-9.
- Süli, Endre; Mayers, David (2003). Introducción al análisis numérico . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-00794-1.
- Kaw, autar; Kalu, Egwu; Nguyen, Duc (2008). "Métodos numéricos con aplicaciones" .
- Weisstein, Eric W. (2010). "Fórmulas de Newton-Cotes" . MathWorld: un recurso web de Wolframtite . MathWorld . Consultado el 2 de agosto de 2010 .
enlaces externos
- "Fórmula de Simpson" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Regla de Simpson" . MathWorld .
- Aplicación de la regla de Simpson - Excavación de movimiento de tierras (Nota: la fórmula descrita en esta página es correcta pero hay errores en el cálculo que deberían dar un resultado de 569m3 y no 623m3 como se indica)
- Regla de integración de 1/3 de Simpson: Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple en Métodos numéricos para estudiantes universitarios de STEM
- Dorai Sitaram describe una descripción detallada de una implementación informática en el esquema Teach Yourself in Fixnum Days , Apéndice C
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