En análisis numérico , las fórmulas de Newton-Cotes , también llamadas reglas de cuadratura de Newton-Cotes o simplemente reglas de Newton-Cotes , son un grupo de fórmulas para la integración numérica (también llamada cuadratura ) basadas en la evaluación del integrando en puntos igualmente espaciados. Llevan el nombre de Isaac Newton y Roger Cotes .
Las fórmulas de Newton-Cotes pueden ser útiles si se da el valor del integrando en puntos igualmente espaciados. Si es posible cambiar los puntos en los que se evalúa el integrando, entonces probablemente sean más adecuados otros métodos como la cuadratura gaussiana y la cuadratura Clenshaw-Curtis .
Descripción
Se supone que el valor de una función f definida en es conocido en puntos igualmente espaciados: . Hay dos clases de cuadratura Newton-Cotes: se llaman "cerradas" cuando y , es decir, utilizan los valores de la función en los puntos finales del intervalo y "abren" cuando y , es decir, no utilizan los valores de la función en los puntos finales. Fórmulas de Newton-Cotes que utilizanlos puntos se pueden definir (para ambas clases) como [1]
dónde
- para una fórmula cerrada, , con ,
- para una fórmula abierta, , con .
El número h se llama tamaño de paso ,se llaman pesos .
Los pesos se pueden calcular como la integral de los polinomios de base de Lagrange . Dependen solo dey no en la función f .
Dejar ser el polinomio de interpolación en la forma de Lagrange para los puntos de datos dados , luego
Inestabilidad de alto grado
Se puede construir una fórmula de Newton-Cotes de cualquier grado n . Sin embargo, para n grandes, una regla de Newton-Cotes a veces puede sufrir el fenómeno catastrófico de Runge [2], donde el error crece exponencialmente para n grandes . Los métodos como la cuadratura de Gauss y la cuadratura de Clenshaw-Curtis con puntos desigualmente espaciados (agrupados en los puntos finales del intervalo de integración) son estables y mucho más precisos, y normalmente se prefieren a Newton-Cotes. Si estos métodos no se pueden usar, porque el integrando solo se da en la cuadrícula equidistribuida fija, entonces el fenómeno de Runge se puede evitar usando una regla compuesta, como se explica a continuación.
Alternativamente, las fórmulas estables de Newton-Cotes se pueden construir usando aproximaciones por mínimos cuadrados en lugar de interpolación. Esto permite construir fórmulas numéricamente estables incluso para grados altos. [3] [4]
Fórmulas cerradas de Newton-Cotes
Esta tabla enumera algunas de las fórmulas de Newton-Cotes de tipo cerrado. Para, dejar y la notación ser una taquigrafía para .
norte | Tamaño de paso h | Nombre común | Fórmula | Término de error |
---|---|---|---|---|
1 | Regla trapezoidal | |||
2 | Regla de Simpson | |||
3 | La regla 3/8 de Simpson | |||
4 | Regla de boole |
La regla de Boole a veces se llama erróneamente regla de Bode, como resultado de la propagación de un error tipográfico en Abramowitz y Stegun , uno de los primeros libros de referencia. [5]
El exponente del tamaño del segmento h en el término de error muestra la tasa a la que disminuye el error de aproximación. El orden de la derivada de f en el término de error da el grado más bajo de un polinomio que ya no puede integrarse exactamente (es decir, con un error igual a cero) con esta regla. El númerodebe tomarse del intervalo (a, b) .
Fórmulas abiertas de Newton-Cotes
Esta tabla enumera algunas de las fórmulas de Newton-Cotes del tipo abierto. De nuevo, es una abreviatura de , con .
norte | Tamaño de paso h | Nombre común | Fórmula | Término de error |
---|---|---|---|---|
0 | Regla de rectángulo o regla de punto medio | |||
1 | Método trapezoide | |||
2 | La regla de Milne | |||
3 |
Reglas compuestas
Para que las reglas de Newton-Cotes sean precisas, el tamaño de paso h debe ser pequeño, lo que significa que el intervalo de integracióndebe ser pequeño en sí mismo, lo que no es cierto la mayor parte del tiempo. Por esta razón, normalmente se realiza la integración numérica dividiendoen subintervalos más pequeños, aplicando una regla de Newton-Cotes en cada subintervalo y sumando los resultados. A esto se le llama regla compuesta . Consulte Integración numérica .
Ver también
Referencias
- ^ Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2006). Matemáticas numéricas (Segunda ed.). Saltador. págs. 386–387. ISBN 978-3-540-34658-6.
- ^ Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2006). Matemáticas numéricas (Segunda ed.). Saltador. págs. 390–391. ISBN 978-3-540-34658-6.
- ^ Pavel Holoborodko (24 de marzo de 2011). "Fórmulas estables de Newton-Cotes" . Consultado el 17 de agosto de 2015 .
- ^ Pavel Holoborodko (20 de mayo de 2012). "Fórmulas estables de Newton-Cotes (tipo abierto)" . Consultado el 18 de agosto de 2015 .
- ^ Regla de booles en Wolfram Mathworld, con error tipográfico en el año "1960" (en lugar de "1860")
- M. Abramowitz y IA Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Nueva York: Dover, 1972. (Ver Sección 25.4.)
- George E. Forsythe, Michael A. Malcolm y Cleve B. Moler. Métodos informáticos para cálculos matemáticos . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice – Hall, 1977. (Consulte la Sección 5.1.)
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 4.1. Fórmulas clásicas para abscisas igualmente espaciadas" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- Josef Stoer y Roland Bulirsch. Introducción al análisis numérico . Nueva York: Springer-Verlag, 1980. (Ver Sección 3.1.)
enlaces externos
- "Fórmula de cuadratura de Newton-Cotes" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Fórmulas de Newton – Cotes en www.math-linux.com
- Weisstein, Eric W. "Fórmulas de Newton-Cotes" . MathWorld .
- Integración de Newton-Cotes , numericalmathematics.com